CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

La fonction ¥{œ) représentant les températures initiales d'un prisme infini dont une partie intermédiaire seulement est échauffée, si Ton substitue dans l'expression de v la valeur que l'on a trouvée pour la fonction Q, on a l'intégrale suivante, qui contient la solution complète de la question proposée :

L'intégrale par rapport à x étant prise de x nulle à x infinie, il en résulte une fonction de q; et, prenant ensuite l'intégrale par rapport à y de y = o à y = Qo, on obtient pour s^ la fonction de a? et / qui représente les états successifs du solide.

Puisque l'intégration par rapport à x fait disparaître cette variable, on peut la remplacer dans l'expression de ^ par une variable quelconque a, en prenant l'intégrale entre les mêmes limites, savoir depuis a :i= o jusqu'à a = oo. On a donc

— = g-'" / e-^i*' cos q X dq I F(a)cosqad(x,

OU

-^ z=:e;-^' / F{(x)doc f e-^'i^'cosqx cosqadq.

L'intégration par rapport à q donnera une fonction de â?, / et a; et, en prenant l'intégrale par rapport à a, on trouve une fonction de a: et ^ seulement. Il serait facile d'effectuer, dans la dernière équation, l'intégration par rapport à y, et l'on changerait ainsi l'expression de c^. On peut, en général, donner diverses formes à l'intégrale de l'équation

dt dx^ '

elles représentent toutes une même fonction de x et /.

Supposons en premier lieu que toutes les températures initiales des points compris entre a et b, depuis j? = — i jusqu'à x = i^ aient pour valeur commune i, et que les températures de tous les autres points soient nulles. La fonction Y{x) sera donnée par cette condition. Il faudra donc intégrer, par rapport à x, depuis x = o jusqu'à x=\; car le reste de l'intégrale est nul d'après l'hypothèse. On trouvera ainsi

__ ^ sin<7 et

Le second membre peut être facilement converti en série convergente, comme on le verra par la suite; il représente exactement l'état du solide en un instant donné et, si l'on y fait / = o, on exprime l'état initial.

Ainsi la fonction

îfsi

dq smr? Ç.O%qx-^

équivaut à l'unité si l'on donne à a? une valeur quelconque comprise entre — i et r, mais cette fonction est nulle si l'on donne à x toute autre valeur non comprise entre — i et i. On voit par là que les fonctions discontinues peuvent aussi être exprimées en intégrales définies.

Pour donner une seconde application de la formule précédente, nous supposerons que la barre a été échauffée en un de ses points par l'action constante d'un même foyer, et qu'elle est parvenue à l'état permanent que l'on sait être représenté par une courbe logarithmique.

Il s'agit de connaître suivant quelle loi s'opérera la diffusion de la chaleur après qu'on aura retiré le foyer. En désignant par f{x) la va-