HL

F(x) = Ae ^"^^

A est la température Initiale du point le plus échauffé. On fera, pour simplifier le calcul.

On a donc on en déduit

= / e"' cosqxdx

et, prenant l'intégrale de x nulle à x infinie,

7rO I

Ainsi la valeur de ^ en a; et / est donnée par l'équation suivante :

Si Ton fail / = o, on aura

m* /•* cos<7J? ,

ce qui correspond à l'état initial. Donc l'expression - / — -^dq équivaut à e'^. il faut remarquer que la fonction ¥[x), qui représente l'état initial, ne change point de valeur, d'après l'hypothèse, lorsque x devient négative; car la chaleur communiquée par le foyer avant que l'état initial fût formé s'est propagée également à la droite et à la gauche du point o qui la reçoit immédiatement. Il s'ensuit que la ligne dont l'équation serait

2 /** cosqjr ,

est composée de deux branches symétriques que l'on forme en répétant, à gauche de Taxe dey^ la partie de la logarithmique qui est à la droite de cet axe et a pour équation

On voit ici un second exemple d'une fonction discontinue exprimée par une intégrale définie (*). Cette fonction - / — ^ dq équivaut à e'-* lorsque x est positive; mais elle est é^ lorsque x est négative.

La question de la propagation de la chaleur dans une barre infinie dont l'extrémité est assujettie à une température constante se réduit, comme on le verra dans la suite, à celle de la diffusion de la chaleur dan^ une ligne infinie; mais il faut supposer que la chaleur initiale, au lieu d'affecter également les deux moitiés contiguës du solide, y est distribuée d'une manière contraire; c'est-à-dire qu'en représentant par F(^) la température d'un point dont la distance au milieu de la ligne est x, la température initiale du point opposé, pour lequel la distance est — £F, a pour valeur — F(a;). Cette seconde question diffère très peu de la précédente et pourrait être résolue par une méthode semblable; mais il est préférable de faire dépendre sa solution de l'analyse qui nous a servi à déterminer le mouvement de la chaleur dans les solides de dimensions finies.

Supposons qu'une partie aft [fis* ^^) ^® '^ barre prismatique infinie soit échauffée d'une manière quelconque et que la partie opposée a ^ soit dans un état pareil, mais de signe contraire, tout le reste du solide ayant la température initiale o. On suppose aussi que le milieu environnant est entretenu à la température constante o, et qu'il reçoit de la barre ou lui communique la chaleur par la surface extérieure. Il

(1) 11 ne s'agit plus ici d'une fonction réellement discontinue, mais plutôt d'une fonction exprimée par deux lois diiïérontcs suivant que la variable est positive ou négative.