CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR

nies, le résultat est égal à i:ç(x); en sorte que l'eflet de Tintégralion est de changer a en a; et de multiplier par le nombre ît ( * ).

(») L'intégrale

cosg{jc — aL)dg

dont parle Fourier n*a aucune valeur déterminée; car on a

* , . , sin//(.r— a)

C0S<7(^ — oi)dq = -

jc — a

et le second membre ne tend vers aucune limite lorsque /i grandit indéfiniment. 11 semble donc difficile d'attacher un sens précis à la proposition énoncée dans ce dernier paragraphe.

La formule célèbre (E), que donne ici Fourier et à laquelle son nom est resté attaché, peut recevoir une signification très nette lorsqu'on la présente de la manière suivante :

Considérons une fonction (p(x), analogue à celles que l'on rencontre en Physique mathématique, demeurant comprise entre deux Jimites fixes lorsque jc varie de — » à h- oo, n'ayant qu'un nombre limité de discontinuités et de maxima ou de minima. Désignons, à l'exemple de Dirichlet (Journal de Crelle, t. 17), par «p(x-t-o) la limite do «p(A*H-/i) et par «p(ar — o) la limite de «p(x — /i) lorsque h tend vers zéro par des valeurs positives. Cela posé, on peut énoncer les propositions suivantes :

L'intégrale double

J(A,B,/i)=- / cp(a)rfa / cosq(x—7.)dq = - j dq j (^{a)cosq(j: — ct)da^

où /i est un nombre positif et où Ton a B < A, tend vers une limite déterminée J (.\, B,oo) lorsque, A et B restant fixes, // grandit indéfiniment. Cette limite est - [«p(.r+o)-i- cp(.r — o)]

si X est compris entre A et B, - <p(B -t- o) si o: est égal à B, - <p(A — o) si .r est égal à A,

o ^ïx est plus grand que A ou plus petit que B.

Il résulte de là que J(A, B, «>) a une limite déterminée Jo(-^) lorsque B et A tendent respectivement vers — » et -f- «, et que cette limite déterminée est égale à

ou à <p(j?) lorsque ^{x) est continue pour la valeur de x considérée. Les propositions précédentes subsisteront alors même que la fonction <p(.r) deviendrait

infinie pour certaines valeurs de x, en nombre limité, pourvu que l'intégrale /^(x) dx demeure finie pour les valeurs de x qui rendent (p(x) infinie. G. D.

On pourrait déduire directement l'équation (E) du théorème, rapporté dans Tarticle 234 (p. 23o et a3i), qui donne le développement d'une fonction quelconque ¥{x) en série de sinus et de cosinus d'arcs multiples. On passe de cette dernière proposition à celles que nous venons de démontrer en donnant une valeur infinie aux dimensions. Chaque terme de la série devient dans ce cas une quantité différentielle. Ces transformations des fonctions en suites trigonométriques sont des éléments de la Théorie analytique de la chaleur; il est indispensable d'en faire usage pour résoudre les questions qui dépendent de cette théorie.

La réduction des fonctions arbitraires en intégrales définies, telle que l'expriment l'équation (E) et les deux équations élémentaires dont elle dérive, donne lieu à diverses conséquences que l'on omettra ici, parce qu'elles ont un rapport moins direct avec la question physique. On fera seulement remarquer que ces mêmes équations se présentent quelquefois dans le calcul sous d'autres formes. On obtient, par exemple, ce résultat

(E') (f{x)=i- I (f{a)d(xl cos<7(j? — OL)dq^

qui diflere de l'équation (E) en ce que les limites de l'intégrale prise par rapport à a sont o et oo, au lieu d'être — c» et +qo. Il faut considérer, dans ce cas, que les deux équations (E) et (E') donnent pour le second membre des valeurs égales lorsque la variable x est positive. Si cette variable est négative, l'équation (E') donne toujours pour le second membre une valeur nulle. Il n'en est pas de même de l'équation (E), dont le second membre équivaut à ?(^), soit que l'on donne à x une valeur positive ou une valeur négative. Quant à l'équation (E'), elle résout le problème suivant : Trousser une fonction de x telle que, si x est positive, la valeur de la fonction soit ^{x), et que, si x est négative, la valeur de la fonction soit toujours nulle.