CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. Ul

La question de la propagation de la chaleur dans une ligne infinie peut encore être résolue en donnant à l'intégrale de l'équation aux différences partielles une forme différente que nous ferons connaître dans l'article suivant. Nous examinerons auparavant le cas où la source de la chaleur est constante.

Supposons que, la chaleur initiale étant répartie d'une manière quelconque dans la barre infinie, on entretienne la tranche A à une température constante, tandis qu'une partie de la chaleur communiquée se dissipe par la surface extérieure. Il s'agit de déterminer l'état du prisme après un temps donné, ce qui est l'objet de la seconde question que nous nous sommes proposée. En désignant par i la température constante de l'extrémité A, par o celle du milieu, on aura

^ ' *""* pour l'expression de la température finale du point situé à la distance x de cette extrémité. Désignant par (^ la température variable du même point après le temps écoulé /, on a, pour déterminer ç^, cette équation

d^ JK ^ HL ât "^ CD du-* CDS

Soit maintenant

on aura

ou

ôii' K ^' JWL , di ~ CD ô.i'' CDS "

en remplaçant ttjt par k et pr-v^r par h. Si l'on fait «'= e~^^u, on a

Cl) ^ CDS

du , d^ u

— — — fi^ — —

ôt d.r

La valeur de u' ou ^ — e *^^ est celle de la différence entre la température actuelle et la température finale; cette différence u\ qui tend de plus en plus à s'évanouir, et dont la dernière valeur est nulle, équivaut d'abord à

en désignant par F{x) la température initiale d'un point situé à la distance x. Soit /{x) cet excès de la température initiale sur la température finale, il faudra trouver pour u' une fonction qui satisfasse à

l'équation

du' ,d'u' , ,

-T— =1 a:-t— 7 — nu ,

qui ait pour valeur initiale /(^), et pour valeur finale, o. Au point A,

-xv*Voii X est égal à o, la quantité ^^ — e *^^ a, par hypothèse, une valeur

constante égale à o. On voit par là que m' représente une chaleur excédante qui est d'abord accumulée dans le prisme, et qui ensuite s'évanouit, soit en se propageant à l'infini, soit en se dissipant dans le milieu. Ainsi, pour représenter l'effet qui résulte de réchauffement uniforme de l'extrémité A d'une ligne infiniment prolongée, il faut concevoir : i^ que cette ligne est aussi prolongée à la gauche du point A, et que chaque point situé à droite est présentement affecté de la température initiale excédante; 2^ que l'autre moitié de la ligne à la gauche du point A est dans un état contraire, en sorte qu'un point placé à la distance — o? du point A a pour température initiale —f{oc)\ ensuite la chaleur commence à se mouvoir librement dans l'intérieur de la barre et à se dissiper à la surface. Le point A conserve la température o, et tous les auti^es points parviennent insensiblement au même état. C'est ainsi que l'on peut ramener le cas où le foyer extérieur communique incessamment une nouvelle chaleur à celui ou la chaleur primitive se propage dans l'intérieur du solide. On pourrait donc résoudre la question proposée de la même manière que celle de la diffusion de la chaleur (art. 347, 353 et 354); mais, afin de mul-