CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

tiplier les moyens de résolution dans une matière aussi nouvelle, on emploiera l'intégrale sous une forme différente de celle que nous avons considérée jusqu'ici.

On satisfait à l'équation

du ,d^u

en supposant u égale à e~^é'^. Or, cette dernière fonction de ^r et / peut être mise sous la forme d'intégrale définie, ce qui se déduit très facilement de la valeur connue de ie^^dq. On a en effet \/tc = j e-'f^dq

lorsque l'intégrale est prise de y=— oc à y =4-00. On aura donc aussi

b étant une constante quelconque, et les limites de l'intégrale étant les mêmes qu'auparavant. De l'équation

^-{q^^tbq) fXq^

on conclut, en faisant b^ =^ kt^

-»-oo

e*' = -^ Ç e-^' e'^'f V*' dq ;

donc la valeur précédente de u ou c^ef^^ équivaut à

4 / e-^*e-^^^^'f^')dq.

On pourrait aussi supposer u égale à la fonction

a et n étant deux constantes quelconques; et Ton trouvera de même que cette fonction équivaut à

-^ f e-^'eM^^^'H^Odq.

ïik THÉORIE DE LA CHALEUR.

On peut donc prendre, en général, pour valeur de u la somme d'une infinité de valeurs semblables, et l'on aura

Les constantes a^, a^, «,, ... et w,, Wj, /ij, . .. étant indéterminées, la série représente une fonction quelconque de ^ 4- 2qyjkt\ on a donc

L'intégrale doit être prise de m = — 30 à a = oc, et la valeur de // satisfera nécessairement à l'équation

du 1.^*''

Cette intégrale, qui contient une fonction arbitraire, n'était point connue lorsque nous avons entrepris nos rechercbes sur la Théorie de la chaleur, qui ont été remises à l'Institut de France dans le mois de décembre 1807; elle a été donnée par iM. Laplace, dans un Ouvrage qui fait partie du Tome VIII du Journal de V École Polytechnique (';; nous ne faisons que l'appliquer à la détermination du mouvement linéaire de la chaleur. On en conclut

mj e-'J' o{x-h2q\^Al)dq -^-e ^^^^;

— ri'"'

lorsque / est égal à zéro, la valeur de u est F(£r) — e *''* ou /(^) ;

donc

f{.r)= (^{x)e-^i*dq et ?(x) == -.^ /(a:).

Ainsi la fonction arbitraire qui entre dans l'intégrale est déterminée

(*) Laplace, Mémoire sur dwers points d'Analyse : Sur le Calcul des fonctions génératrices. — Sur les intégrales définies des équalions à différences partielles. — Sur le passage réciproque des Résultats réels aux Résultats imaginaires. — Sur l'intégration des équations aux différences finies non linéaires. — Sur la Réduction des fonctions en Tables {Journal de l'Ecole Polj technique , XV* Cahier, p. 229-265. Foir plus particulièrement p. 235 à 2 Î4). G. D.