CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. kio

au moyen de la fonction donnée /(^); et Ton a l'équation suivante qui contient la solution de la question

il serait facile de représenter ce résultat par une construction.

Nous appliquerons la solution précédente au cas où, tous les points de la ligne AB ayant la température initiale o, on échauffe l'extrémité A pour la retenir continuellement à la température i. 11 en résulte que F(,a?) a une valeur nulle lorsque x diffère de o. Ainsi, f[x) équivaut à

'Vïïs

— 6» *'^ toutes les fois que x diffère de zéro, et k zéro lorsque .r est nulle. D'un autre côté, il est nécessaire qu'en faisant x négative, la valeur de f[x) change de signe, en sorte que l'on a la condition /(— o:) = — /(^r). On connaît ainsi la nature de la fonction discon-

/ïïL ./ÏÏL

tinue f{x)\ elle est — e *^^ lorsque x surpasse o, et -t- ^ *^^ lorsque X est moindre que o. Il faut maintenant écrire, au lieu de Xj la quantité X -h iqyjkt. Pour trouver u ou

on prendra d'abord l'intégralp depuis x -h 2q \/kt = o jusqu'à .r -h 2y }Jkt = 00, et ensuite depuis x -\- 2q \Jkl = — x> jusqu'à X -h 2(7 \/Ft = o. Pour la première partie, on a

i/rr . /

et, remplaçant k par sa valeur ^.t , on a

^-Ve^ '^«^".^^"SrfV

ou

y/TT y

OU

/ML IlLf /• / . ./HL/V

yjTz

En désignant par r la quantité y -h yîMjc* l'expression précédente

est

, /HL Hl. t

kS CDS A-r»^^.

cette intégrale j e ''* dr doit être prise, par hypothèse, depuis ^^vCD ~^ jusqu a ir-hayi/'^j =00, ou depuis y = ,r^

/HL^ œ

jusqu'à y = Qo, ou de r = i/ ^jy^ — ^^ jusqu'à r = 00.

La seconde partie de l'intégrale est

^" Cl)

ou

ou

/HL IIL/

' 'Vks

y/îT

en désignant par r la quantité q — i/rijg' L'intégrale / e~^'' dr doit être prise, d'après l'hypothèse, depuis x -\- ^yi/p^y = — oo jusqu'à r -f- 2yi/pjv = 0, OU de y = — x> à y = — - — — rr> c'est-à-dire