CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. il

dans toutes ses parties une température constante initiale o et que Ton assujettit la surface à une température constante i . Il ne sera point inutile de faire observer quelques résultats de cette solution.

En désignant par ç(R) l'intégrale -^ /e~''Vr prise depuis / = o jusqu'à r = R, on a

^(R)^i ç(R) et 4;(-R)=i4-ç(R),

lorsque R est une quantité positive; donc

4^(-R)-iKR) = 2<p(R) et ^ = i-2<p^ "^

VCD

En développant l'intégrale 9(R)» on a

<p(R)=^fR-iiR»-f- — iR» î iR7 4... V

V^TTX '^- 1.20 1.2.37 /

donc

2 ^ 2 ^ /X7 ï 3 I fwl I I .2 D

v/§ ' vv/S/ '"' vVcïï

i^ Si Ton suppose x nulle, on trouvera v = \.

0? Si, X n'étant point nulle, on suppose ^ = o, la somme des termes

qui contiennent x représente l'intégrale Ic^^dr prise depuis r = o

jusqu'à r = 00, et par conséquent équivaut à - y/Tx ; donc ^ est nulle.

3^ Différents points du solide placés à des profondeurs différentes o?,, 072, aTj, ... parviennent à une même température après des temps

différents /,, /j» '3» •••» qui sont proportionnels aux carrés des Ion-

gueurs X ^ , x<2% x^^ ....

4*^ Pour comparer les quantités de chaleur qui traversent pendant

un instant infiniment petit une section S placée dans l'intérieur du

solide à la distance x du plan échauffé, on prendra la valeur de la

quantité — KS~, et l'on aura

<JX

s/%n \\/W ''Wm) \

ainsi l'expression de la quantité ^ est entièrement dégagée du signe intégral, La valeur précédente, à la surface du solide échauffé, est

S i/ — —y ce qui fait connaître comment le flux de chaleur à la surface

varie avec les quantités C, D, K, /; pour trouver combien le foyer communique de chaleur au solide pendant un temps écoulé /, on prendra

l'intégrale

r^ ^ /CÏ)K dt ^ /CDK r

ainsi la chaleur acquise croît proportionnellement à la racine carrée du temps écoulé.

On peut traiter par une analyse semblable la question de la diffusion de la chaleur, qui dépend aussi de l'intégration de l'équation

On représentera par /(a?) la température initiale d'un point de la ligne placé à la distance x de l'origine, et Ton cherchera à déterminer quelle doit être la température de ce même point après un temps i. Faisant

on aura

v=ze'^*^z.

et par conséquent