DU MOUVEMENT LIBRE DE LÀ CHALEUR DANS UN SOLIDE INFINI

L'intégrale de l'équation

di^

dt CD ôx^

fournit immédiatement celle de l'équation à quatre variables

dt " CD \dx^ "^ dy^ '^ dz^y

comme nous Tavons déjà remarqué en traitant la question de la propagation de la chaleur dans un cube solide. C'est pour cela qu'il suffit, en général, de considérer l'eifet de la diffusion dans le cas d'un solide

hl

k'2S THEORIE DE LA CHALEUR.

linéaire. Lorsque les corps n*ont point leurs dimensions infinies, la distribution de la chaleur est continuellement troublée par le passage du milieu solide au milieu élastique; qu, pour employer les expressions propres à TAnalyse, la fonction qui détermine la température ne doit pas seulement satisfaire à Téquation aux différences partielles et à Tétat initial : elle est encore assujettie a des conditions qui dépendent de la figure de la surface. Dans ce cas, l'intégrale a une forme plus difficile à connaître, et il faut examiner la question avec beaucoup plus de soin pour passer du cas d'une coordonnée linéaire à celui des trois coordonnées orthogonales; mais, lorsque la masse solide n'est point interrompue, aucune condition accidentelle ne s'oppose à la libre diffusion de la chaleur : cet élément se meut de la même manière dans tous les sens.

La température variable ^ d'un point d'une ligne infinie est exprimée par l'équation

(i) ^=-7= I e-i'/{j:-i-2qs/^t) dq.

X désigne la distance entre un point fixe o et le point m dont la température équivaut à s^ après le temps écoulé t: On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre infinie*, et l'état initial de cette barre est exprimé par l'équation v = f[x). L'équation différentielle à laquelle la valeur de v doit satisfaire est celle-ci :

^^^ àt ~CD dr**

Mais, pour simplifier le calcul, on écrit

dt ■"■ dx^ '

ce qui suppose que l'on emploie au lieu de t une autre indéterminée / égale a ^.

Si, dans une fonction f[x) de x et de constantes, on substitue

«se;