CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR

VJl

Puisque la fonction ^ ou ff{x,y,z,t) représente l'état initial lorsqu'on y fait / = o, et qu'elle satisfait à l'équation différentielle de la propagation de la chaleur, elle représente aussi Tétat du solide qui a lieu au commencement du second instant; et, en faisant varier le second état, on en conclut que la même fonction représente le troisième état du solide et tous les états suivants. Ainsi la valeur de ^^ que l'on vient de déterminer, contenant une fonction entièrement arbitraire des trois variables x, y, 5, donne la solution de la question; et l'on ne peut supposer qu'il y ait une expression plus générale, quoique d'ailleurs la même intégrale puisse être mise sous des formes très diverses.

Au lieu d'employer l'équation

on pourrait donner une autre forme à l'intégrale de l'équation

dv à- y 5? ""dû"»'

et il serait toujours facile d'en déduire l'intégrale qui convient au cas des trois dimensions. Le résultat que l'on obtiendrait serait nécessairement le même que le précédent.

Pour donner un exemple de ce calcul, nous ferons usage de la valeur particulière qui nous a servi à former l'intégrale exponentielle.

Reprenant donc l'équation

ât

dx^

nous donnerons à (^ la valeur très simple ^""''cosw^r, qui satisfait évi demment à l'équation différentielle [b). En effet, on en tire

■*r^Si

Donc l'intégrale

€~'^*^ cos n X dn

convient aussi à Téquation (b); car cette valeur de ^ est formée de la somme d'une infinité de valeurs particulières. Or l'intégrale précé-

dente est connue, et l'on sait qu'elle équivaut à -7= e *' {voir Tarticle

suivant). Cette dernière fonction de a? et / convient donc aussi avec l'équation différentielle (b). Il est d'ailleurs très facile de reconnaître

immédiatement que la valeur particulière -i^c ^^ satisfait à l'équation

dont il s'agit.

Ce même résultat aura lieu si l'on remplace la variable x par a; — a, a étant une constante quelconque. On peut donc employer comme va-

leur particulière la fonction — e *' , dans laquelle on attribue à a

une valeur quelconque. Par conséquent, la somme / -^^ ^e *' doL

satisfait aussi à l'équation différentielle [b)\ car cette somme se compose d'une infinité de valeurs particulières de la même forme, multipliées par des constantes arbitraires. Donc on peut prendre pour valeur de {^ satisfaisant à l'équation [b)

Â étant un coefficient constant.

Si, dans cette dernière intégrale, on suppose

i\ji

en faisant aussi À == — p? on aura