CHAPITRE IX, - DIFFUSION DE LA CHALEUR

On voit par là comment l'emploi des valeurs particulières

e-'^'^cosna: ou — r e *'

conduit à Tintégrale sous forme finie.

La relation qu'ont entre elles ces deux valeurs particulières se découvre lorsqu'on détermine l'intégrale

/ e-'^^'cosno' dn.

Pour effectuer l'intégration, on pourrait développer le facteur cosnx et intégrer par rapport à n. On obtient ainsi une série qui représente un développement connu; mais on déduit plus facilement ce résultat de l'analyse suivante. L'intégrale 1 e''^*^cosnxdn se rapporte à celle-ci :

/ e-p*cos2pudp,

en supposant n^l = p^ et nx = 2pu. On a ainsi

e~'^*' cos n o' dn=z —r j q^P* Q,o^ipit dp.

On écrira maintenant

Çe-P'co%ipudp— - fe-P'^^P^^dp-h - j e-P*-^P"^^ dp

— ig-»' I e-P*^^P'*V^-^'''dp-^ -e-'*' I e-P^-^P'^'J-^-^^^dp

- ie-»' f€-ip-''yr''ydp -h - e"** fe-ip^'^^^'Ydp.

Or chacune des intégrales qui entrent dans ces deux termes équivaut à v^-î:. En effet, on a, en général,

\fK= I e-1^ dq, F. 55

kSk THÉORIE DE LA CHALEUR

et, par conséquent,

quelle que soit la constante b. On trouve donc, en faisant 6 = i:tt\/—* et remplaçant q par/?,

/ e-P* cos 2 pu dp ^= v^TT e-"';

donc

et, mettant pour u sa valeur — -y on aura

r^' fit -- '

j e-'*''cosnxrf/2=: i /- <? *'.

Au reste, la valeur particulière 7= <? *' est assez simple pour qu'elle se

présente immédiatement sans qu'il soit nécessaire de la déduire de celle-ci : e~"''^cosnx. Quoi qu'il en soit, il est certain que la fonction

-p e ^' satisfait à l'équation différentielle

dv d'V ^

il en est de même, par conséquent, de la fonction -j=€ *' , quelle

que soit la quantité a.

Pour passer au cas des trois dimensions, il suffit de multiplier la

l.r — OL)*

fonction enxett,—e *' , par deux autres fonctions semblables^

l'une en y et /, l'autre en s et en /; le produit doit évidemment satisfaire à l'équation

dv d*v d*v d^v