CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W

bution cesse bientôt d'avoir lieu pour les points voisins de la portion échauffée, c'est-à-dire que leur température ne dépend plus que de la quantité de chaleur initiale, et non de la répartition qui en avait été faite; mais la grandeur de la distance ne concourt point à effacer l'empreinte de la distribution; elle la conserve, au contraire, pendant un très long temps et retarde la diffusion de la chaleur. Ainsi l'équation

ne représente les températures des points extrêmement éloignés de la partie échauffée qu'après un temps immense. Si on l'appliquait sans cette condition, on trouverait des résultats doubles ou triples des véritables, ou même incomparablement plus grands ou plus petits; et cela n'aurait pas lieu seulement pour des valeurs très petites du temps, mais pour de grandes valeurs telles que une heure, un jour, une année. Enfin cette expression serait d'autant moins exacte, toutes choses égales d'ailleurs, que les points seraient plus éloignés de la partie primitivement échauffée.

Lorsque la diffusion de la chaleur s'opère dans tous les sens, l'état du solide est représenté, comme on l'a vu, par l'intégrale

(y) v>z:z / rie ^*' f{a,%y)dad^dy.

Si la chaleur initiale est contenue dans une portion déterminée de la masse solide, on connaîtra les limites qui comprennent cette partie échauffée; et les quantités a, p, y qui varient sous le signe intégral ne pourront point recevoir de valeurs qui excèdent ces limites. Supposons donc que l'on marque sur les trois axes six points dont les distances sont -f-X, -h Y, -hZ et —X, —Y, — Z, et que l'on considère les états successifs du solide compris entre les six plans qui passent à ces

distances; on voit que l'exposant de e^ sous le signe d'intégration, se réduit à — ^- — -;^- — — lorsque la valeur du temps écoulé augmente

sans borne. En effet, les termes tels que ^77 et -rr. reçoivent dans ce

cas des valeurs absolues très petites, parce que les numérateurs sont compris entre des limites fixes et que les dénominateurs croissent à rinfini. Ainsi les facteurs que l'on omet diffèrent extrêmement peu de l'unité. Donc l'état variable du solide, après une grande valeur du temps, a pour expression

Le facteur

représente la quantité totale de chaleur B que le solide contient. Ainsi le système des températures ne dépend point de la distribution de la chaleur initiale, mais seulement de sa quantité. On pourrait supposer que toute la chaleur initiale était contenue dans un seul élément prismatique placé à l'origine, et dont les dimensions orthogonales et extrêmement petites seraient co,, (O2, (O3. La température initiale de cet élément serait désignée par un nombre extrêmement grand /, et toutes les autres molécules du solide auraient une température initiale nulle. Le produit Oô.tOa 0)3/ équivaut, dans ce cas, k l'intégrale

fJJf{0L,%y)dadpdy.

Quel que soit réchauffement initial, l'état du solide qui correspond à une valeur du temps très grande est le même que si toute la chaleur avait été réunie dans un seul élément placé à l'origine.

Supposons maintenant que l'on ne considère que les points du solide dont la distance à l'origine est très grande par rapport aux dimensions de la partie échauffée; on pourrait d'abord penser que cette con-