CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

dition suffit pour réduire Texposanlde e dans l'intégrale générale. En effet, cet exposant est

kkt '

et les variables a, p, y sont, par hypothèse, comprises entre des limites déterminées, en sorte que leurs valeurs sont toujours extrêmement petites par rapport à la plus grande coordonnée d'un point très éloigné de l'origine. Il suit de là que l'exposant de e se compose de deux parties M et [Jb, dont l'une est très petite par rapport à l'autre. Mais de ce que

le rapport — est une très petite fraction on ne peut pas conclure que

l'exponentielle é^'^^ devienne égale à ^^ ou n'en diffère que d'une quantité très petite par rapport à sa propre valeur. Il ne faut point considérer les valeurs relatives de M et [jl, mais seulement la valeur absolue de (x. Pour que l'on puisse réduire l'intégrale exacte (y) à l'équation

'(j.kt)^

il est nécessaire que la quantité

2aj?-f- 2^/-+- 2y-3 — a* — (3' — y*

l^kt '

dont la dimension est o, soit toujours un nombre fort petit. Si l'on suppose que la distance de l'origine au point m dont on veut déterminer la température est très grande par rapport a l'étendue de la partie qui a été d'abord échauffée, on examinera si la quantité précédente est toujours une très petite fraction o). Il faut que cette condition soit satisfaite pour que l'on puisse employer l'intégrale approchée

mais cette équation ne représente point l'état variable de la partie de la masse qui est très distante du foyer. Elle donne au contraire un

kkS THÉORIE DE LA CHALEUR.

résultat d'autant moins exact, toutes choses d'ailleurs égales, que les points dont on détermine la température sont plus éloignés du foyer.

La' chaleur initiale contenue dans une portion déterminée de la masse solide pénètre successivement les parties voisines et se répand dans tous les sens; il n'en parvient qu'une quantité extrêmement petite aux points dont la distance à l'origine est très grande. Lorsqu'on exprime par l'analyse la température de ces points» l'objet du calcul n'est pas de déterminer en nombre ces températures, qui ne sont point mesurables, mais de connaître leurs rapports. Or ces quantités dépendent certainement de la loi suivant laquelle la chaleur initiale a été distribuée, et l'effet de cette répartition initiale dure d'autant plus que les parties du prisme sont plus éloignées du foyer. Mais, si les

termes qui font partie de l'exposant, tels que -jj-r ^^ rr}^ ^"^ ^^s valeurs absolues qui décroissent sans limite, on doit employer les intégrales approchées.

Cette condition a lieu dans les questions où l'on se propose de déterminer les plus hautes températures des points très éloignés de l'origine. En effet, on peut démontrer que, dans ce cas, les valeurs du temps croissent dans un plus grand rapport que les distances, et qu'elles sont proportionnelles au carré de ces distances lorsque les points que l'on considère sont très éloignés de l'origine. Ce n'est qu'après avoir établi cette proposition qu'on peut opérer la réduction sous l'exposant. Les questions de ce genre seront l'objet de la Section suivante.

SECTION III