CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. i

en série, on trouve

On a fait abstraction de la quantité de chaleur qui se dissipe par la surface du prisme; nous allons maintenant avoir égard à cette déperdition, et nous supposerons que la chaleur initiale est contenue dans un seul élément de la barre prismatique infinie.

Dans la question précédente, on a déterminé l'état variable d'un prisme infini dont une portion déterminée était affectée dans tous les points d'une température initiale /. On supposait que la chaleur initiale était distribuée dans une étendue finie, depuis x = o jusqu'à ,x = b. On suppose maintenant que la même quantité de chaleur bf est contenue dans un élément infiniment petit, depuis 07 — 0 jusqu'à

X = 0). La température de la tranche échauffée sera donc — > et il résulte de ce qui a été dit précédemment que l'état variable du solide sera exprimé par l'équation

2 sjizkt

le coefficient ^, qui entre dans l'équation différentielle

^' - L ^ / dt ~" CI) dx^ '

est ici encore désigné par k\ quant au coefficient A, il équivaut à çTy^'y

on désigne par S l'aire de la section du prisme, par L le contour de cette section et par H la conducibilité de la surface extérieure. En substituant ces valeurs dans l'équation (a), on a

(A) ri= % P. '^' e ^"S ;

/représente la température moyenne initiale, c'est-à-dire celle qu'au-

ko2 THÉORIE DE LA CHALEUR.

rait un seul point si Ton distribuait également la chaleur initiale entre tous les points d'une portion de la barre dont ia longueur serait b ou, plus simplement, l'unité de mesure. Il s'agit de déterminer la valeur du temps écoulé t qui répond au maximum de température d'un point donné.

Pour résoudre cette question, il suffit de déduire de l'équation {a) la dt

valeur de -rr et de l'égaler à zéro; on aura

dv . a:' IV

I ik i l\hk

Donc la valeur 6 du temps qui doit s'écouler pour que le point placé à la distance x atteigne sa plus haute température est exprimée par l'équation

x^ \ x"^ ^ kx*

Pour connaître la plus haute température V, on remarquera que

l'exposant de e"* dans l'équation (a) est ht -h j-rr 0"* l'équation [h) donne

donc

ht -f- y-T- ■= —,

4 kl 2 kl 2

et, mettant pour - sa valeur connue, on a

substituant cet exposant de e~* dans l'équation (a), on a

2\/nk9