CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CFIALEUR

et, remplaçant y^O par sa valeur connue, on trouve, pour l'expression du maximum y.

Les équations {c) et (rf) contiennent la solution de la question; on remplacera h et k par leurs valeurs >,^ ^^ n>» ^^ P®^^ aussi écrire -

au lieu de |r> en représentant par g la demi-épaisseur du prisme, dont la base est un carré. On aura, pour déterminer 6 et V, les équations

Au , i

n^^ v ¥ a / AK , i e ^k^' "^î (D) V=-^i/ i + 2 4/=^,r«-h 7

2^nV y ^^ 4 ^

Ces équations s'appliquent au mouvement de la chaleur dans une barre peu épaisse dont la longueur est très grande. On suppose que le milieu de ce prisme a été affecté d'une certaine quantité de chaleur bf, qui se propage jusqu'aux extrémités et se dissipe par la surface convexe. V désigne le maximum de température pour le point dont la distance au foyer primitif est a?; 0 est le temps qui s'écoule depuis le commencement de la diffusion jusqu'à l'instant où la plus haute température V a lieu. Les coefficients C, H, K, D désignent les mêmes propriétés spécifiques que dans les questions précédentes; et g est le demi-côté du carré formé par une section du prisme.

Si l'on veut rendre ces résultats plus sensibles par une application numérique, on supposera que la substance dont le prisme est formé est le fer, et que le côté 2gdn carré est là vingtK^inquième partie d'un mètre.

Nous avons mesuré autrefois,, par nos expériences, les valeurs de

U, K; celles de C et D étaient déjà connues. En prenant le mëtre pour unité de longueur, la minute sexagésimale pour unité de temps et employant les valeurs approchées de H, K, CD, on déterminera les valeurs de V et de 6 relatives à une distance donnée. Pour Texamen des conséquences que nous avons en vue, il n'est pas nécessaire de connaître les coefficients avec une grande précision.

On voit d'abord que, si la distance x est d'environ un mètre et demi

ou deux mètres, le terme r— ^^ qui entre sous le radical a une grande

valeur par rapport au second terme j. Le rapport de ces termes est d'autant plus grand que la distance est plus grande.

Ainsi la loi des plus hautes températures devient de plus en plus simple à mesure que la chaleur s'éloigne de l'origine. Pour déterminer cette loi régulière qui s'établît dans toute l'étendue de la barre, il faut supposer que la distance x est très grande, et l'on trouve

/aH

ou

et

On voit par la première équation que le temps qui répond au maximum de température croit proportionnellement à la distance. Ainsi la vitesse de l'onde (si toutefois on peut appliquer cette expression au mouvement dont il s'agit) est constante, ou plutôt elle le devient de plus en plus et conserve cette propriété en s'éloignant à l'infini de l'origine de la chaleur.

On remarquera aussi dans la seconde équation que la quantité