COMPARAISON DES INTÉGRALES
L'intégrale de l'équation de la propagation de la chaleur se présente sous différentes formes qu'il est nécessaire de comparer. Il est facile, comme on le voit dans la Section II de ce Chapitre (art. 372 et 376, p. 427 et 434), de ramener le cas des trois dimensions à celui du mouvement linéaire; il suffit donc d'intégrer l'équation
ou celle-ci :
ds>
dt ~~
CD dx^
dv
dt
~ dx*
h62 THÉORIE DE LA CHALEUR.
Pour déduire de cette équation difTérentielle les lois de la propagation de la chaleur dans un corps d*une figure déterminée, par exemple dans une armille, il était nécessaire de connaître Tintégrale, et de Tobtenir sous une certaine forme propre à la question et qui ne pourrait être suppléée par aucune autre. Cette intégrale a été donnée, pour la première fois, dans notre Mémoire remis à l'Institut de France le 21 décembre 1807 (art. 84, page 12^4 de ce Mémoire) : elle consiste dans réquation suivante, qui exprime le système variable des températures d'un anneau solide,
doit être prise, par rapport à a, depuis a = o jusqu'à a == 2i:R ou, ce qui donne le même résultat, depuis a = — irR jusqu'à a = rR; i est un nombre entier quelconque et la somme Z doit être prise depuis I — — 00 jusqu'à e = -^ Qo; i^ désigne la température que l'on observerait après le temps écoulé / en chaque point d'une section séparée par Tare X de celle qui est à l'origine. On représente par v = F(£r) la température initiale d'un point quelconque de l'anneau. Il faut donner à i les valeurs successives
o, ^ I, -h 2, -h 3, -h. . . et
( < ) L.e Mémoire maDuscrit que cite ici Fourier ne nous est connu que par un extrait publié dans le Bulletin des Sciences de la Société philomathique, année 1808, p. 112. Plus tard, le 28 septembre 1811, Fourier a présenté un autre Mémoire qui a été couronné dans la séance publique du 6 janvier 1812. Ce second Mémoire, qui doit être considéré comme une rédaction nouvelle du premier et qui est conservé dans les Archives de l'Académie des Sciences, a été imprimé sans aucun changement dans le tome IV des Mémoires de l'Académie rojrale des Sciences de l'Itt^titut de France (pour les années 18 19 et 1820), publié en 1824, et dans le tome V du même Recueil (pour les années 1821 et 1822), publié en 1826. On voit que la publication intégrale du Mémoire de 181 1 est postérieure à celle de la Théorie analytique de la chaleur , qui a eu lieu en 1822. Les résultats des recherches de Fourier avaient d'ailleurs été indiqués d'une manière détaillée dans divers articles des Annales de Chimie et de Physique et du Bulletin des Sciences de la Société philomathique .
