CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE l\ CHALEUR

et, au lieu de cosi . > écrire

cosi s cost Yy -+- sine jr sïni ^; n 1\ K U

on obtient ainsi tous les termes de la valeur de i^. Telle est la forme sous laquelle doit être mise Tintégrale de l'équation (a), pour exprimer le mouvement variable de la chaleur dans une armille (Chap. IV, art. 241, p. 244)- On considère le cas où la forme et l'étendue de la section génératrice de Tarmille sont telles que les points d'une même section conservent des températures sensiblement égales. On suppose aussi qu'il ne se fait à la superficie de l'anneau aucune déperdition de

la chaleur.

L'équation (a) s'appliquant à toutes les valeurs de R, on y peut supposer R infini : elle donne, dans ce cas, la solution de la question suivante. L'état initial d'un prisme solide d'une petite épaisseur et d'une longueur infinie étant connu et exprimé par l'équation

déterminer tous les états subséquents. On considère le rayon R comme contenant un nombre n de fois le rayon i des Tables trigonométriques. Désignant par q une variable qui devient successivement dq, idq,

Zdq idq^ ..., le nombre infini n sera exprimé par ^i et le

nombre variable i par ~ • Faisant ces substitutions, on trouve

i;= — V dqfe-^*^cosq{x — a)F{(x)d(x.

Les termes qui entrent sous le signe 2) sont des quantités difierentielles, en sorte que ce signe devient celui d'une intégrale définie et l'on a

(;3) v= — / F{a)d(xf e-''*'cosq{X'- (x)dq.

Cette équation est une seconde forme de l'intégrale de l'équation (a); elle exprime le mouvement linéaire de la chaleur dans un prisme d'une longueur infinie (Chap. Vil, art. 354, p. 402). Elle est une conséquence évidente de la première intégrale (a).

On peut, dans l'équation (P), effectuer l'intégration définie par rapport à q; car on a, selon un lemme connu et que l'on a démontré précédemment (art. 375, p. 434)»

I c"-' cos a A 5 ^5 = v^ e-'*\

Faisant donc z^ = g^i et h= — ~y on trouvera

f e-v''cos^(j7 — a)^7 = i/- e ^ *^

donc l'intégrale (P) de l'article précédent devient

Si l'on emploie, au lieu de a, une autre indéterminée ^ en faisant on trouve

Cette forme (S) de l'intégrale de l'équation {a) a été donnée par M. Laplace dans le Tome VIII du Journal de l'École Polytechnique (*). Ce grand géomètre est parvenu à ce résultat en considérant la série infinie qui représente l'intégrale.

(») P^oir la note p. ^14.

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