CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

Chacune des équations (P), (y), (S) exprime la diffusion linéaire de

la chaleur dans un prisme d'une longueur infinie. Il est évident que ce

sont trois formes d'une même intégrale, et qu'aucune ne peut être

considérée comme plus générale que les autres. Chacune d'elles est

contenue dans l'intégrale (a), dont on la dérive en donnant à R une

valeur infinie.

Il est facile de développer la valeur de v déduite de l'équation [a] en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de l'une ou l'autre variable. Ces développements se présentent d'eux-mêmes, et nous pourrions nous dispenser de les rapporter; mais ils donnent lieu à des remarques utiles pour la recherche des intégrales. En désignant parc, 9", 9 , ... les fonctions -^, ^A^^ ^-A J, .. ., on a

ât

la constante représente ici une fonction quelconque de x\ En mettant pour v" sa valeur c"-f- jv^'^dt, et continuant toujours des substitutions semblables, on trouve

v — c~\-fv''dt

= c-^f{c'-{-fi''''dt)dt

^c^f[c'A-J'{c''-\- f'ç''''dt)dt^ ou

Dans cette série, c désigne une fonction arbitraire en œ.

Si l'on veut ordonner le développement de la valeur de v selon les puissances ascendantes de a:, on écrira

et, désignant par ç,, ç,,, ç,^,, ... les fonctions

dt' 'dt^' IF' ■"'

on aura d'abord

a et b représentent ici deux fonctions quelconques de /. On mettra ensuite pour k\ sa valeur

a, -+- b,x -h f d.r I i\ dx,

et pour V,, sa valeur

a^-\- b^x + I dx j {\ dxy

et ainsi de suite. On trouvera, par ces substitutions continuées,

v:=:za ->r bx H- / dx J V, dx ~a-\-bx->r- j dx I {o,-^ b^x -h f dxj^i^ dx) dx zzza-^ bx-h fdxj[a,-^ b^x-\- f dx j (a^-h b^x -\- f dx j v^dx)dx]dx

Dans cette série, a et b désignent deux fonctions arbitraires de /.

Si, dans cette série donnée par Téquation (X), on met, au lieu de a et i, deux fonctions ç(/) et '|(^), et qu'on les développe selon les puissances ascendantes de ^ en ordonnant le résultat total par rapport à CCS mêmes puissances de /, on ne trouve qu'une seule fonction arbitraire de X, au lieu des deux fonctions a et b. On doit cette remarque à M. Poisson, qui l'a donnée dans le Tome VI du Journal de VÈcole Polytechnique, page uo (*).

Réciproquement, si, dans la série exprimée par l'équation (T), on développe la fonction c selon les puissances de .r, en ordonnant le résultat par rapport k ces mêmes puissances de x^ les coefficients de ces

( * ) Poisson, Mémoire sur les solutions particulières des équfttions différenùelles et des équations aiuc différences. Lu à l'Institut le 23 floréal, an XHI. — Journal de l'École P<djtechnique, XHI* Cahier, l. VI, avril 1806. — Foir aussi la Théorie de la chaleur du même Auteur, p. i33 et suiv. G. D.