CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUH

puissances se trouvent formés de deux fonctions entièrement arbitraires de /, ce que Ton peut aisément vérifier en faisant le calcul.

La valeur de i^, développée selon les puissances de t, ne doit en effet contenir qu'une fonction arbitraire en x : car Téquation différentielle (a) montre clairement que, si l'on connaissait en fonction de x la valeur de 9 qui répond à / = o, les autres valeurs de cette fonction r qui répondent aux valeurs subséquentes de / seraient par cela mên^e déterminées.

Il n'est pas moins évident que la fonction ^, étant développée selon les puissances ascendantes de x^ doit contenir deux fonctions entièrement arbitraires de la variable t. En effet, l'équation différentielle

montre que, si l'on connaissait en fonction de / la valeur de v qui répond a une valeur déterminée de x^ on ne pourrait pas en conclure les valeurs de v qui répondent à toutes les autres valeurs de x. Il faudrait de plus que l'on donnât en fonction de / la valeur de v qui répond a une seconde valeur de a?, par exemple à celle qui est infiniment voisine de la première. Alors tous les autres états de la fonction r, c'està-dire ceux qui répondent à toutes les autres valeurs de x^ seraient déterminés. L'équation différentielle (a) appartient à une surface courbe, l'ordonnée verticale d'un point quelconque étant v et les deux coordonnées horizontales étant j? et /. Il suit évidemment de cette équation (a) que la forme de la surface est déterminée lorsqu'on donne la figure de la section verticale dans le plan qui passe par l'axe des x\ et cela résulte aussi de la nature physique de la question : car il est manifeste que, l'état initial du prisme étant donné, tous les états subséquents sont déterminés. Mais on ne pourrait pas construire la surface si elle était seulement assujettie à passer par une courlx» tracée sur le premier plan vertical des / et des^; il faudrait de plus

connaître la courbe tracée sur un second plan vertical parallèle au premier, et que l'on peut supposer extrêmement voisin. Les mêmes remarques s'appliquent à toutes les équations aux diflerences partielles, et l'on voit que l'ordre de l'équation ne détermine point pour tous les cas le nombre des fonctions arbitraires.

La série (T) de l'article 399, qui dérive de Téquation

peut être mise sous cette forme

On développera l'exponentielle selon les puissances de I), et Ton écrira -j—, au lieu de D', en considérant i comme indice de diflerentia- (ion. On aura ainsi

dx' 2 dx^ 2.3 dx^

Suivant la même notation, la première partie de la série ($) (art. 399), (jui ne contient que des puissances paires de .r, sera exprimée sous cette forme :

On développera selon les puissances de x, et Ton écrira .-^ au lieu de D',

en considérant i comme indice de différentiation. La seconde partie de la série (X) se déduit de la première, en intégrant par rapport à .r et changeant la fonction (p(/) en une autre fonction arbitraire '|(/). On a donc

t'~cos(.rv/— 0)9(0 + W

et

( * ) Ou mieux

\\ - r cos(xv^— i))'^(o^^' (')

smW-1)) V — D