CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 4G

Ces notations abrégées et connues dérivent des analogies qui existent entre les intégrales et les puissances. Quant à Tusage que nous en foisons ici, il a pour objet d'exprimer les séries et de les vérifier sans aucun développement. Il suffit de différentier sous les signes que cette notation emploie. Par exemple, de l'équation i^ = 6?'"'(p(.r) on déduit, en différentiant par rapport à t seulement,

ce qui montre immédiatement que la série satisfait à l'équation différentielle [a). Pareillement, si l'on considère la première partie de la série (X), en écrivant

i'rrC0s(.rv/— D) 9(0,

on aura, en différentiant deux fois par rapport à .r seulement,

^^;=Dcos(a'v/-n)9(0-Dr=^.

Donc cette valeur de v satisfait a l'équation différentielle [a). On trouvera de la même manière que l'équation différentielle

donne, pour l'expression de v en série développée selon les puissances

croissantes de j,

i' = cos(/D) (^{jc).

Il faut développer par rapport à j et écrire ^ au lieu de D. En effet, on déduit de cette valeur de c

|;^=-D'cos(7D)cp(^)=zz-I)«.^-^;.

La valeur sin(jD)K.r) satisfait aussi à l'équation différentielle : donc la valeur générale de v est

v-^ cos(/D) 9(^') -h sin(/D) 4'(-'')-

Si l'équation différentielle proposée est

et que Ton veuille exprinier r en série ordonnée selon les puissances de /, on désignera par Dç» la fonction

Ou;*- âv^ et, l'équation étant

on aura

r =:z cos(/ v^— ti) ?(-^^ j)'

Kn effet, on en conclut

Il faut développer la valeur précédente de <' selon les puissances de /,

écrire y-yrt ~^ )~i) ^^ ''^^ ^^ 0'» ^^ regarder ensuite les exposants

comme des indices de différenliation.

La valeur suivante

■ J'cos{t v^— I)) ^(x, y) dt

satisfait a la même condition ; ainsi la valeur la plus générale de r est

V r=cos(/ v^— I)) ^{Xyjr) -f- W, OÙ

r est une fonction /(a:, y, /] de trois variables; si Ton fait / = o, on a

/(x, j, o) = 9(j^,7); ( * ) Ou encore