CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. kli

et, désignant 4}/(^f J»0 P^^*/!^» J» 0» ^" ^"'***

Si l'équation proposée est

la valeur* de ç^en série ordonnée selon les puissances de l sera en désignant ^-^ par D : car on en déduit

La valeur générale de i% qui ne peut contenir que deux fonctions arbitraires de .r, est donc

avec

\V— r cos(/D')^P(^)r// (»).

Désignant v par/(.r, /), et %- par /'(.r, /), on a, pour déterminer les deux fonctions arbitraires,

Si l'équation différentielle proposée est

on désignera par Do la fonction . ; H- —ï' ^'^ ^^i*!^* qti<* t)1^9 ^" '^^?

(M Ou mieux

siiurD») " D* ^' *• G. l).

so formera en élevant le binôme ,-^ -h -.-^ au carré et regardant les

exposants comme indices de différentiation. L'équation {c) deviendra donc

et la valeur de ^\ ordonnée selon les puissances de /, sera

cos(/D)9(j', j);

car on en tire ou

La valeur la plus générale de r ne pouvant contenir que deux fonctions arbitraires en œ ci y, ce qui est une conséquence évidente de la forme de l'équation, cette valeur sera ainsi exprimée

Les fonctions ç et j» sont déterminées comme il suit: en désignant la

di

cp( j7, y)—f{x, y, o), ^{x, y) ==. /(.r, r, o),

Enfin, soit proposée l'équation différentielle

^•^ ^ dt ÔJC' dx* dx

fonction i' par /(.r, y,/), et -t. /{ol, y, t) p^r f^oc, y, t), on a

OÙ les coefficients a, b, c, .. . sont des nombres connus, l'ordre de l'équation étant indéfini.

La valeur la plus générale de r ne peut pas contenir plus d'une fonction arbitraire en x; car il est évident par la forme même de l'équation

( ' ) Ou encore

i' = cos(f D) o(u:, j)H ^' 'K^,/;-