CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

que, si Ton connaissait en fonction de x la valeur de v qui répond a / = o, toutes les autres valeurs de ^ qui répondent aux valeurs successives de / seraient déterminées. On aura donc, pour exprimer v, l'équation

on désigne par Dç(a7) l'expression

dx^ dx^ dx^

«:T3î + ^-jri-HC:ri -+-...,

c'est-k-dire que, pour former la valeur de \\ il faudrait développer selon les puissances de / la quantité

et écrire ensuite ^ au lieu de a, en considérant les exposants de a

comme des indices de diflerentiation. En effet, cette valeur de v étant différentiée par rapport à / seulement, on a

il serait inutile de multiplier ces applications d'un même procédé. Pour les équations très simples, on peut se dispenser des expressions abrégées; mais, en général, elles suppléent à des calculs très composés. Nous avons choisi pour exemples les équations précédentes, parce qu'elles se rapportent toutes à des phénomènes physiques dont l'expression analytique est analogue à celle du mouvement de la chaleur. Les deux premières, {a) et (6), appartiennent k la théorie de la chaleur; les trois suivantes (c), (rf), (e) a des questions dynamiques; la dernière (/) exprime ce que serait le mouvement de la chaleur dans les corps solides si la transmission instantanée n'était pas bornée k une distance extrêmement petite. On a un exemple de ce genre de question dans le mouvement de la chaleur lumineuse qui pénètre les milieux diaphanes.

47i THÉORIE DE LA CHALEUR.

On peut obtenir par divers moyens les intégrales de ces mêmes équations. Nous indiquerons en premier lieu celui qui résulte de l'usage du théorème énoncé dans l'article 361 (p. 4o8), et que nous allons rappeler.

Si Ton considère l'expression

o{(x) dx I cosp{jr — oi)dp,

on voit qu'elle représente une fonction de x\ car les deux intégrations définies, par rapport à a et/?, font disparaître ces variables, et il reste une fonction de x. La nature de cette fonction dépendra évidemment de celle que l'on aura choisie pour 9(a): On peut demander quelle doit être la fonction ^(a) pour que, après les deux intégrations définies, on obtienne une fonction donnée /(.r). En général, la recherche des intégrales propres à exprimer divers phénomènes physiques se réduit à des questions semblables à la précédente. Ces questions ont pour objet de déterminer les fonctions arbitraires sous les signes d'intégration définie en sorte que le résultat de cette intégration soit une fonction donnée. Il est facile de voir, par exemple, que l'intégrale générale de l'équation

serait connue si, dans l'expression précédente (a), on pouvait déterminer 9 (a) en sorte que le résultat de l'équation fût une fonction donnée /(.r). En efi'et, on forme immédiatement une valeur particulière de i\ ainsi exprimée

et l'on trouve cette condition

m m ap^ — bp'' -h cf/' — . . . .

On pourra donc prendre aussi

r=:e-"''cos/?(.r — a),