CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR

en donnant à la constante a une valeur quelconque. On aura pareillement

Il est évident que cette valeur de v satisfait à Téquation différentielle (/); elle n'est autre chose qu'une somme de valeurs particulières. De plus, supposant / = o, on doit trouver pour ç une fonction arbitraire de x. Désignant cette fonction par f[oc), on a

f{x) z= i (^{aL)dx f cos/?(j7 — a) dp.

Or il résulte de la forme de l'équation (/) que la valeur la plus générale de r ne peut contenir qu'une seule fonction arbitraire en œ. En effet, cette équation montre clairement que, si l'on connaît en fonction de X la valeur de i^ pour une valeur donnée du temps /, toutes les autres valeurs de (^ qui correspondent aux autres valeurs du temps sont nécessairement déterminées. Il s'ensuit rigoureusement que, si l'on connaît en fonction de / et de a: une valeur de ^ qui satisfasse à l'équation différentielle et si, de plus, en y faisant / = o, cette fonction de 07 et / devient une fonction entièrement arbitraire de x, la fonction de 07 et / dont il s'agit est l'intégrale générale de l'équation (/). Toute la question est donc réduite à déterminer dans l'équation la fonction ç(a) en sorte que le résultat des deux intégrations soit une fonction donnée /{x). Il est seulement nécessaire, pour que la solution soit générale, que l'on puisse prendre pour /{x) une fonction entièrement arbitraire, et même discontinue. Il ne s'agit donc que de connaître la relation qui doit toujours exister entre la fonction donnée /{x) et la fonction inconnue ç(a). Or cette relation très simple est exprimée par le théorème dont nous parlons. Elle consiste en ce que, les intégrales étant prises entre des limites infinies, la fonction (p(a)

est — /(a); c'est-à-dire qu'on a l'équation

(B) f{x)=z—j /{oc)daJ cosp{x--cx)dp.

i76 THÉORIE DE LA CHALEUR.

On en conclut, pour l'intégrale générale de la proposée (/),

Si l'on propose l'équation

qui exprime le mou\emeni vibratoire d'une lame élastique, on considérera que, d'après la forme de cette équation, la valeur la plus générale de i^ ne peut contenir que deux fonctions arbitraires en x; car, en désignant cette valeur de f' par /(^, /), et par f\oc^t) la fonction

■T-f{oo,t)^ il est évident que, si l'on connaissait /(^, o) et f\x^o),

c'est-à-dire les valeurs de v et de wj au premier instant, toutes les

autres valeurs de v seraient déterminées.

Cela résulte aussi de la nature même du phénomène. En effet, considérons dans son état de repos une lame élastique rectiligne : x est la distance d'un point quelconque de cette lame à l'origine 0 des coordonnées; on change extrêmement peu la figure de cette lame en l'écartant de sa position d'équilibre, où elle coïncidait avec l'axe de x sur le plan horizontal; ensuite on l'abandonne à ses forces propres excitées par le changement de figure. On suppose le déplacement arbitraire, mais très petit, et tel que la figure initiale donnée à cette lame soit celle d'une courbe comprise dans un plan vertical qui passe par l'axe des X. Le système changera successivement de forme et continuera à se mouvoir dans le plan vertical de part et d'autre de la ligne d'équilibre. C'est ce mouvement dont l'équation

(cl)

dl^ ÔJc

exprime la condition la plus générale.

Un point quelconque m, placé dans la situation d'équilibre k la dis-