CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W

tance x de rorigine 0 et sur le plan horizontal, est, a la fin du temps /, éloigné de ce point de la hauteur perpendiculaire r. Cet écart variable v est une fonction de x et /. La valeur initiale de v est arbitraire ; elle est exprimée par une fonction quelconque ^[x). Or l'équation (rf), déduite des principes fondamentaux de la Dynamique, fait connaître que la

seconde fluxion de v, prise pour /, ou ^) et la fluxion du quatrième

ordre, prise pour a:, ou -t-;> sont deux fonctions de a? et / qui ne différent que par le signe. Nous n'entrons point ici dans la question spéciale relative à la discontinuité des fonctions; nous n'avons en vue que l'expression analytique de l'intégrale. On peut supposer aussi qu'après avoir déplacé arbitrairement les divers points de la lame on leur imprime des vitesses initiales très petites et dans le plan vertical où les vibrations doivent s'accomplir. La vitesse initiale donnée à un point quelconque m, placé à la distance x, a une valeur arbitraire. Elle est exprimée par une fonction quelconque 'i^{x) de la distancer.

Il est manifeste que, si l'on donne : i** la figure initiale du système, ou ?(^); a° les impulsions initiales, ou la fonction "^{x), tous les états subséquents du système sont déterminés. Ainsi la fonction v^ ou f{xy t), qui représente, après un temps quelconque /, la forme correspondante de la lame, contient deux fonctions arbitraires 9 (a;) et '^{x).

Pour déterminer la fonction cherchée /(or, ^), nous considérons que, dans l'équation

on peut donner à i^ la valeur très simple ou celle-ci

u =1 COS7'/ cosf/{a; — a),

en désignant par q et a des quantités quelconques qui ne contiennent ni X ni t. On aura donc aussi

F(a) étant une fonction quelconque, et quelles que soient les limites (les intégrations. Cette valeur de ç n'est autre chose qu'une somme de valeurs particulières. .

Il est nécessaire maintenant que, pour / = o, la valeur de w soil celle que nous avons désignée par/(.r, o), ou <f{or). On aura donc

¥(3i)dx I cosq {x ^ (x)dq,

Il faut déterminer la fonction F(a) en sorte que, les deux intégrations étant achevées, le résultat soit la fonction arhitraire o{x). Or le théorème exprimé par Téqualion (B) fait connaître que, les limites de chacune des intégrales étant —oc et -Hoc, on a

Donc la valeur de u est donnée par l'équation suivante :

Si Ton intégrait par rapport à / cette valeur w, en y changeant o en ]/, il est évident que l'intégrale, désignée par W, satisferait encore à l'équation différentielle proposée [d), et Ton aurait

W r= — - I ^(oi)dx I — s'inq-t cosq(jr — x) d/.

Celte valeur W devient nulle pour / = o; et si l'on prend l'expression

=L - I 'lt{oc)dxj cosq'tcosq{x — x)dq.

on voit que, pour / = o, elle devient égale à '|(^). Il n'en est pas de

du

ôt

même de l'expression -77; elle devient nulle pour ^ = o, et m devient

égal à o[x).

Il suit de là que l'intégrale de l'équation [d) est

V~: — I (^{oL)doL\ QOSq^tCOSq{T — x)dq -\-\\ :=::za-h\\

V — oo t/ . aa