CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. M

avec

Wzn— / ^(7.)d<xl' sin7*/cos<7(j:-~a)-|-

En effet :

1^ Cette valeur de i^ satisfait à l'équation différentielle (r/). 2* Lorsqu'on fait / = o, elle devient égale à la fonction entièrement arbitraire 9(^).

l^"" Lorsqu'on fait / = o dans l'expression^, elle se réduit à une

seconde fonction arbitraire ^'(.a:^). Donc la valeur de i^ est l'intégrale complète de la proposée, et il ne peut y avoir une intégrale plus générale.

On peut réduire la valeur de m à une forme plus simple en achevant l'intégration par rapport à q. Cette réduction et celle d'autres expressions du même genre dépendent des deux résultats exprimés par les équations (i) et (2), qui seront démontrées dans l'article suivant,

(i) / cos7'^cos75^7=i /- sin ( 7 ^- ^ J,

(2) 1 s\n fjU cos q z dq z=zi/-^s\n(^ y- ^ Y

On en conclut

I r^* pTr ( r — a)* 1 (0) u — — — sin y4-^ — ^- — ?(a)^a.

Désignant — ^^ par une autre indéterminée [jl, on aura

a = j7 4- 2 jjL y/7, daL^=.i\Jt dix.

Mettant, au lieu de sin ( 7 -^ [x^ j, sa valeur

y/isin/x'^^^cosfxS

on aura

Nous avons prouvé, dans un Mémoire particulier, que ces intéf^rales (S) ou (S') de l'équation (d) représentent d'une manière claire et complète le mouvement des diverses parties de la lame élastique infinie (*). Elles contiennent l'expression distincte du phénomène et en font connaître facilement toutes les lois. C'est sous ce point de vue surtout que nous les avons proposées à l'attention des géomètres. Elles montrent comment les oscillations se propagent et s'établissent dans toute l'étendue de la lame, et comment l'effet du déplacement initial, qui est arbitraire et fortuit, s'altère de plus en plus en s'éloignant de l'origine, devient bientôt insensible, et ne laisse subsister que l'action des forces propres du système, qui sont celles de l'élasticité.

Les résultats exprimés par les équations (1) et (2) dérivent des inté-

î^rales définies

I cosœ^ dx et / sinjc'^.r.

Soit

= / cos x^ djc, h^zj sïtix^ d<r.

et regardons g et A comme des nombres connus. Il est évident que, dans les deux équations précédentes, on peut mettre y -h h au lieu de ce, en désignant par h une constante quelconque, et que les limites des intégrales seront les mêmes. Ainsi l'on a

4,»^=/ cos{y^ -h 2 bj' -^ b^)dy, h^^ I sin( v*H- 2Ôv -f- 6*) ûf;>'.

r^ * l cosj- cos 2 by cos b* — cos/' sin 2 by sin b^ j

J^ I — sin/*sin2Ô/cos6*— sinj*cos2 6r sinft' )

( 1 ) n faut joindre à « la partie W qui dépend de la seconde fonction arbitraire et qui a été définie à la page précédente. G. D.