CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

Or il est facile de voir que toutes les intégrales qui contiennent le facteur siu 2 by sont nulles si les limites sont — oo et -i- oo : car sin 2 6v change de signe en même temps que/. On a donc

(a) g = cos6* / cosy-cos^bydy-^ s\nb^rs}ny^C0S2bydf.

L*équation en h donnera aussi

sin/* cos26j^cos^*-+-cos/'cos26/sir\^* cosy* sin 2 6/ cos 6' — sin/* sin 2 by sin 6* '

omettant encore les termes qui contiennent sm iby, on aura

(b) A = cosb* Csiny* côs2^/ dy -h sin^' fcosy^ cos2 6j dy.

Les deux équations (a) et (b) donnent donc en ^ et A les deux intégrales

fcosy* cos 2 6/ dyy Csiny* cos 2 6/ dy

que nous désignerons respectivement par  et B. On fera ensuite

y*z=:p*e, et 2by = pz, ou y—p\]ly b^-^-

On a donc

^Ccosp^tcosps dp = \, ^Jsïnp^tcospz dp zn B.

On déduit immédiatement les valeurs de ^ et A du résultat connu

= / e-^* dj^.

En effet, cette dernière équation est identique et, par conséquent, ne cessera point de l'être lorsqu'on mettra au lieu de x la quantité

cette substitution donne

Ainsi la partie réelle du second membre de cette dernière équation est )Jtz, et la partie imaginaire est nulle. On en conclut

V/^2 TT =r / cos^' df 4- f%\ny^ dy et o = fco^y^ dy — js'iny* dy,

ou

f cos7'e/j=:^ = y/ ^, j s\ny^dy = h=z^^.

Il ne reste plus qu'à déterminer, au moyen des équations {a) et (fc), les valeurs des deux intégrales

/ cos^*cos2Ôyc(f/ et / s'iny* s'ini bydy.

Elles seront ainsi exprimées :

A =r / cos J* cos 2bydy=^h sin b*-j- g cos &',

B = / sin/'cosa^yrf/ — /icosô' — ^sinô*. On en conclut

f ^ospUcospzdp=.^^^(^cos'^^-i-sïn^^^^ f sin/>*/ cos/..- c//.=z y/il (cos ^- sin ^^).

Écrivant sin 7 ou cos 7 au lieu de i/-) on a

(i) / cosp*tcospzdp — i/--s\n1-T -h Y,)^

(2) I sin^*/cos/?5âr/? = W^sinQ - — V

La proposition exprimée par l'équation (B) (art. 404, p. 475) ou par l'équation (E) (art. 361; p. 4o8), qui nous a servi à découvrir cette intégrale (S) et les précédentes, s'applique évidemment à un plus