OB
OU
/(^) = ^/ ^^y C0SjD(x — «)/(«) ^a,
on peut regarder /(a:) comme une fonction de deux variables a? et y. La fonction /(a) sera donc une fonction de a et j. On regardera maintenant celte fonction /(a,/) comme une fonction de la variable j, et Ton conclura du même théorème (B) (p. 47^)
On aura donc, pour exprimer une fonction quelconque des deux variables a: et y, Téquation suivante :
(BB) /(a:,jK)=(^yy *^«y f{cx,^)d^J^ \osp{x-OL)dpJ cosq{y-?)dq.
On formera de la même manière Téquation qui convient aux fonctions de trois variables, savoir :
(BBB) /(x,7, z) = (^)y^«/i^P //(«, P,y) dyfcospijr - a) dpfcosq{y - (3) dqfcosr{z - y)dr,
chacune des intégrales étant prise entre les limites — oo et -h qo. Il est manifeste que la même proposition s'étend aux fonctions qui comprennent un nombre quelconque de variables (*).
Il nous reste à montrer comment cette proposition s'applique à la recherche des intégrales, lorsque les équations contiennent plus de
deux variables.
Par exemple, l'équation différentielle étant
(*) Los équatioDS (BB) et (BBB) appellent évidemment des remarques analogues à celles que nous avons déjà présentées à la page 409. G. D.
on veut connaître la valeur de f^, fonction de x^y^ /, et telle : i*^ qu'en supposant / = o, v ou f[pc^y^i) devienne une fonction arbitraire
^{oo,y) de x et j; 2*^ qu'en faisant / = o dans la valeur de -r- ou
f'ix.y^i)^ on trouve une seconde fonction entièrement arbitraire
Nous pouvons conclure de la forme de Téquation différentielle [c] que la valeur de \^ qui satisfera à cette équation et aux deux conditions précédentes sera nécessairement l'intégrale générale. Pour découvrir cette intégrale, nous donnons d'abord à i' la valeur particulière
V = cosm^ cospx cosqy.
La substitution de (^ fournit la condition
Il n'est pas moins évident que l'on peut écrire
ç =:cos/?(x — a) cosg {y — (3) cosf \//?*-h ^^ ou encore
V z= f da JY {oL,^) d^ J CO%p{x — ol) dp J cosq{y ^ ^) COStsJp^ -^ q^ dqy
quelles que soient les quantités^, q, a, p et F(a, P), qui ne contiennent ni X, ni y, ni /. En effet, cette dernière valeur de v n'est autre chose qu'une somme de valeurs particulières.
Si l'on suppose / = o, il est nécessaire que v devienne ç(^, j). On aura donc
Ainsi la question est réduite à déterminer F(a, P) en sorte que le résultat des intégrations indiquées soit c^[x^y). Or, en comparant la dernière équation à l'équation (BB), on trouve
9(^, y) = (-^yf dc^f 9(«. (5) ^Pj C0S/>(a: - a) dpj COSq{y ^ ^) dq
