CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR

Donc l'intégrale sera ainsi exprimée :

= ( — ] / da I (p{oc,^)d^ I cosp(x—a)dp I cosç{y — ^)cosl\/^p^-\-q^dq.

On obtient ainsi une première parties de l'intégrale; désignant par W la seconde partie, qui doit contenir l'autre fonction arbitraire ^(^•.v). on aura

et l'on prendra pour W l'intégrale fudt^ en changeant seulement 9 en vp. En effet, u devient égale à 9(^,7) lorsqu'on fait ^ = o; et en même temps W devient nulle, puisque l'intégration par rapport à/

change le cosinus en sinus. De plus, si l'on prend la valeur de ^

et que l'on fasse / = o, la première partie, qui contient alors un sinus, devient nulle, et la seconde partie devient égale à ^1^(^,7). Ainsi l'équation

est l'intégrale complète de la proposée.

On formerait de la même manière l'intégrale de l'équation

dt* "" dJi* dy^ ds* '

il suffirait d'introduire un nouveau facteur

— cos/*(5 — y),

et d'intégrer par rapport à r et y.

Soit proposée l'équation

il s'agit d'exprimer ç^ en une fonction/(ar, j, s) telle : 1*^ que/(ar, j^, o)

soit une fonction arbitraire ç(^» j); 2^ que, si Ton fait 5 =: o dans la

fonction ^/(^fj»^), on trouve une seconde fonction arbitraire '|{a-,/).

Il suit évidemment de la forme de Téquation différentielle que la fonction ainsi déterminée sera l'intégrale complète de la proposée. Pour connaître cette fonction, on remarquera d*abord que Ton satisfait à Téquation en écrivant

les exposants/? et q étant des nombres quelconques, et la valeur de m

étant dz >Jp^ -^ q^>

On pourrait donc aussi écrire

i^ =r cosp{x -- a) cos7(7 — (3) (e*^'-^* -h e--v^^-*-'?), et encore

dix f Y {a, ^)d^jj cosp(jr - a) cosq{y - (3) ( --^ j dp dq.

Si Ton fait 5 = 0, on aura, pour déterminer F{a, P), la condition suivante :

?(^'^fy)--~-f^^f^i^*^)^?f^osp(x — (x)dpfcosq(y — ^)dq;

et, en comparant à l'équation (BB), on voit que

On aura donc, pour l'expression d'une première partie de l'intégrale :

« = ^fd(xfç.{(X, (3) d^fcospix — «) dpfcosq{y^^){e-^P'~^''^ c--^P^^')dq,

Cette valeur de u se réduit k 9(^,7) lorsque 5 = o, et la même substitution rend nulle la valeur de -r^-

ôz

On pourrait aussi intégrer par rapport à :? la valeur de w, et Ton donnerait à l'intégrale la forme suivante, dans laquelle ^ est une nou-