CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. hSl
velle fonction arbitraire :
La valeur de W devient nulle lorsque ^ = o, et la même substitution
rend la fonction -77- égale à ^(^, j). Donc l'intégrale générale de la proposée est
Enfin, soit Téquation
on veut connaître pour i^ une fonction /(a?, j,/), qui satisfasse à la proposée (e) et aux deux conditions suivantes, savoir : 1® que la substitution de/ = odans/(a:,j^, t) donne une fonction arbitraire 9(^.7);
2? que la même substitution dans ^/(a?, j, /) donne une seconde fonction arbitraire 'll^» j)-
Il suit évidemment de la forme de Téquation {e) et des principes que nous avons exposés plus haut que la fonction <;, étant déterminée en sorte qu'elle satisfasse aux conditions précédentes, sera l'intégrale complète de la proposée. Pour découvrir cette fonction, on écrira
d'abord
ç =z cospx cosqy cos mtf
d'où l'on tire
On a donc la condition m =/?* -h q^. Ainsi l'on écrira
p = cospx cosqy C0S/(/>*-H 9')
ou
i^ — cosp{x — a) cosç(/ — {3) cost{p^-h q*)y
hSS THÉORIE DE LA CHALEUR.
ou encore
Lorsqu'on fait / = o, on doit avoir ♦' = ?(^tj). ce qui sert à déterminer la fonction F(a, P). Si Ton compare à l'équation générale (BB), on trouve que, les intégrales étant prises entre des limites inûnies,
la valeur de F(a, P) est ( ^ j (p(a, P). On aura donc, pour exprimer
une première partie u de l'intégrale,
« = f — j / d(X I (p(a, P)é/p/ cosp{x — (x)dpl COSq{jr — ^)cos{p*t-^q^t)d(].
En intégrant la valeur de u par rapport à /, et 4^ désignant la seconde fonction arbitraire, on trouvera une autre partie W de Fintégrale ainsi exprimée :
Si l'on fait / = o dans u et dans W, la première fonction devient égale à 9(^,7)1 et la seconde nulle; si l'on fait aussi / = o dans -^ et dans -TT-j la première fonction devient nulle, et la seconde devient égale à v};(£r, r) : donc
est l'intégrale générale de la proposée.
On peut donner à la valeur de u une forme plus simple en effectuant les deux intégrations par rapport à /? et 9. On fait usage, pour ce calcul, des deux équations (i) et (2) que nous avons démontrées dans l'article 407 (p. 482), et l'on obtient l'intégrale suivante :
