CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR
Désignant par u cette première partie de l'intégrale, et par W la seconde, qui doit contenir une autre fonction arbitraire, on a
W — ( udt el r — M -f- W.
Si l'on désigne par [x et v deux nouvelles indéterminées, telles que Ton ait
ai — X 3 — r
et que l'on substitue pour a, jî, rfa, dJ^ leurs valeurs on aura cette autre forme de l'intégrale
r— - / ^fx / sin(/x'-h v') o(jr 4- 2/JLv^^/^- 2vv/7)^v H- W.
Nous ne pourrions multiplier davantage ces applications de nos formules sans nous écarter de notre sujet principal. Les exemples précédents se rapportent à des phénomènes physiques dont les lois étaient inconnues et difficiles à découvrir; et nous les avons choisis parce que les intégrales de ces équations, que l'on avait inutilement cherchées jusqu'ici, ont une analogie remarquable avec celles qui expriment le mouvement de la chaleur.
On peut aussi, dans la recherche des intégrales, considérer d'abord les séries développées selon les puissances d'une variable, et sommer ces séries au moyen des théorèmes exprimés par les équations (B), (BB). Voici un exemple de cette analyse, choisi dans là théorie même de la chaleur, et qui nous a paru remarquable.
On a vu (art. 399, p. 466) que la valeur générale de v, déduite de l'équation
développée en série selon les puissances croissantes de la variable /, contient une seule fonction arbitraire de x; et qu'étant développée en série selon les puissances croissantes de x, elle contient deux fonctions entièrement arbitraires de /.
La première série est ainsi exprimée :
L'intégrale désignée par {^) (art. 397, p. 463), ou
(j3) i>=z — I 9(a)ûfa/ e-^''cos/>(j? — «)rf/>,
représente la somme de cette série, et contient la seule fonction arbitraire ^{x).
La valeur de {^, développée suivant les puissances de x, contient deux fonctions arbitraires/(/) et F(/), et est ainsi exprimée :
II y a donc, indépendamment de l'équation (P), une autre forme de l'intégrale, qui représente la somme de cette dernière série et qui contient deux fonctions arbitraires, /(/) etF(/). Il s'agit de découvrir cette seconde intégrale de l'équation proposée, qui ne peut être plus générale que la précédente (P), mais qui contient deux fonctions arbitraires.
On y parviendra en sommant chacune des deux séries qui entrent dans l'équation (X). Or il est évident que, si l'on connaissait en fonction de ^ et / la somme de la première série qui contient /(/), il faudrait, après l'avoir multipliée par rfar, prendre l'intégrale par rapport hx, et changer /(/) en F(/). On trouverait ainsi la seconde série. De plus, il suffirait de connaître la somme des termes de rang impair qui entrent dans la première série; car, en désignant cette somme par (x.
