CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR. Ml
et la somme de tous les autres termes par v, on a évidemment
A Ja <
dt
11 reste donc à trouver la valeur de [x. Or la fonction f[t) peut être ■ainsi exprimée, au moyen de l'équation générale (B) :
/(O — — / f{oi)doLl cosp{l — oc)dp.
Il est facile d'en déduire les valeurs des fonctions
il est évident que la différentiatîon se réduit à écrire dans le second membre de l'équation (B), sous le signe fdp, les facteurs respectifs
On aura donc, en écrivant une seule fois le facteur commun cosp{t — a),
M - ^fA(x)dixJ*dpcosp{t — a)
Ainsi la question consiste à trouver la somme de la série qui entre dans le second membre, ce qui ne présente aucune difficulté. En effet, soit y la valeur de cette série : on en conclut
dx^ ^ 2.3.4 '2.3.4.-.0 «-P
Intégrant cette équation linéaire, et déterminant les constantes arbi-
dv d^ V d^ V
traires en sorte que, x étant nulle, j soit i, et ^> -r^» -r^ soient nulles, on trouve, pour la somme de la série.
= ;(/^^r'V^f)eo,(Yf)
&9â THÉORIE DE LA CHALEUR.
Il serait inutile de rapporter le détail de ce calcul; il suffit d*en énoncer le résultat, qui donne pour Tintégrale cherchée
Le terme W est la seconde partie de l'intégrale; on le forme en intégrant la première partie par rapport à x, depuis x = o jusqu'à x = x, et en changeant / en F. Sous cette forme, l'intégrale contient deux fonctions entièrement arbitraires, /(/) et F(/). Si, dans la valeur de r, on suppose x nulle, le terme VV devient nul par hypothèse, et la première partie u de l'intégrale devient /(/). Si l'on fait la même substitution X = 0 dans la valeur de y-» il est évident que la première partie -ç- deviendra nulle, et que la seconde .— > qui ne diffère de la première
que par la fonction F placée au lieu de/, se réduira à F(/). Ainsi l'intégrale exprimée par l'équation (|3^) satisfait à toutes les conditions, et elle représente la somme des deux séries qui forment le second membre de l'équation (X)(^).
C'est cette forme de l'intégrale qu'il est nécessaire de choisir dans plusieurs questions de la Théorie de la chaleur; on voit qu'elle est très différente de celle qui est exprimée par l'équation ((î) (art. 397).
On peut employer des procédés de calcul très variés pour exprimer en intégrales définies les sommes des séries qui représentent les inté-
(') On peut retrouver l'intégrale donnée ici par Fourier en suivant une autre méthode, dont cette partie de TOuvrage contient déjà plusieurs applications. Si Ton cherche des solutions particulières de Téquation
qui soient de la forme
A cospt -h B sin/>/,
A et B dépendant exclusivement de x, on est conduit par un calcul facile aux quatre solu-
