CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. M
grales des équations différentielles. La forme de ces expressions dépend aussi des limites des intégrales définies. Nous citerons un seul exemple
lions particulières suivantes
e*i^ sin[çj: -f- iq^{t — a)], e-^^ sin[— ^j-h iq^{t — a)],
qu'il est aisé de vérifier directement et où a désigne une constante arbitraire. En prenant la demi-somme dos deux premières, on obtient une fonction paire de x,
-e9^ CO^lqx H- :kq^{t — a)] H — c-1^ cos[ — qx-h 2q^(t — a)],
se réduisant à cosi q^(t — a) pour x = o. Maintenant, si dans l'équation (E ) de la page 408,
on remplace/? par 'iq^, on a
(C) f(t)=^f f{0L)daf''c0S2q^{t--a)qdq.
Si donc on considère l'intégrale doublo
,-»-co
u=- I f{a)da I \e*i^cos[qx-i-2q^{t — aj]^e-^^cos[—qx-h:iq^(t — oi)]\qdq.
elle se réduira à f{t) pour a: = o et sera évidemment une fonction paire de x. Comme elle est d'ailleurs une somme do solutions particulières de l'équation (a), elle satisfera également à cette équation.
Considérons de mémo l'intégrale
VV=--^ Ç F{a)d(x I \e'^'8ln\qx-^2q^{t--a)-h~^-'e-^^sïn\--■qx-h2q^(t —
Pour la mémo raison elle satisfait à l'équation (a), et elle est d'ailleurs une fonction impaire de X s'annulant pour x = o.
Si l'on prend sa dérivée par rapport à x, on trouve qu'elle se réduit, pour / = o, à
- / F(a)rfa / C0S'3Lq^{t — a)qdq^
c'est-à-dire à F(f), en vertu de l'équation (C).
Si l'on prend
u représentera la somme de la première ligne de la série (X) et W la somme do la seconde ligne. G. D.
de ce calcul en rappelant le résultat de Tarticle 311 (p. 343). Si, dans l'équation qui termine cet article, on écrit x + /sinii sous le signe de fonction ç, on a
- / 9(^ -+- ^ sin w) ^w = 9{x) -h ^ /(x) -h -,--j,- o'^(x)-t- . . . .
Désignant par v la somme de la série qui forme le second membre, on voit que, pour faire disparaître dans chaque terme un des facteurs 2', 4^, ... qui terminent le dénominateur, il faut différentier une fois par rapport à /, multiplier le résultat par /, et diiïérentier une seconde fois par rapport à /. On conclut de là que v satisfait à Téquation aux différences partielles
d^v I d ( dv\ ()*(' d'i' I dt'
ou
dx^ t dl\ dtj <>.r» ât* t di
On a donc, pour exprimer Tintégrale de cette équation.
=z - / o(»r -h /sin«)£/« 4- W .
La seconde partie W de Tintégrale contient une nouvelle fonction arbitraire- La forme de cette seconde partie W de l'intégrale diffère beaucoup de celle de la première, et pourrait aussi être exprimée en intégrales définies. Les résultats que l'on obtient au moyen des intégrales définies varient selon les procédés de calcul dont on les déduit, et selon les limites des intégrales. On peut dire, en général, que ces recherches n'ont point un but assez déterminé lorsqu'on les sépare des questions physiques auxquelles elles se rapportent.
11 est nécessaire d'examiner avec soin la nature des propositions générales qui servent à transformer les fonctions arbitraires : car l'usage de ces théorèmes est très étendu et l'on en déduit immédiatement la solution de plusieurs questions physiques importantes, que
