CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W

l'on ne pourrait traiter par aucune autre méthode. Les démonstrations suivantes, que nous avons données dans nos premières recherches, sont très propres à rendre sensible la vérité de ces propositions. Dans Téquation générale

A^)='f /(«)^«/ C0S/>(a — jr)ûf/?,

qui est la même que Téquation (B) (p. 47^), on peut effectuer l'intégration par rapport à/?, et l'on trouve

■^ ^mt OQ

On doit donc donner à/?, dans cette dernière expression, une valeur infinie; et, cela étant, le second membre exprimera la valeur de/{x). On reconnaîtra la vérité de ce résultat au moyen de la construction suivante. Nous examinerons d'abord l'intégrale définie

smj?

dXy

que l'on sait être égale à - (art. 356).

Si l'on construit au-dessus de l'axe des a: la ligne dont l'ordonnée

est sinar et celle dont l'ordonnée est -> et qu'ensuite on multiplie

l'ordonnée de la première ligne par l'ordonnée correspondante de la seconde, on considérera le produit comme l'ordonnée d'une troisième ligne dont il est très facile de connaître la forme.

Sa première ordonnée à l'origine est i, et les ordonnées suivantes deviennent alternativement positives ou négatives; la courbe coupe l'axe aux points où a? = ir, air, Su, ... et elle se rapproche de plus en plus de cet axe. Une seconde branche de la courbe, entièrement semblable à la première, est située à la gauche de l'axe des y. L'intégrale

sin^ , -dx

est Taire comprise entre la courbe et Taxe des x^ comptée depuis .r = o jusqu'à une valeur positive infinie de x. L'intégrale définie

r sin/>.i

dans laquelle /> est supposé un nombre positif quelconque, a la même valeur que la précédente. En effet, soit px = z; l'intégrale proposée deviendra

"sine , - -az

et, par conséquent, elle équivaut aussi à -• Cette proposition est vraie

quel que soit le nombre positif />. Si Ton suppose , par exemple,

p= lo, la courbe dont l'ordonnée est a des sinuosités beau-

coup plus rapprochées et plus courtes que celles dont l'ordonnée est

; mais l'aire totale, depuis x = o jusqu'à a? = oc, est la même.

Supposons maintenant que le nombre p devienne de plus en plus grand et qu'il croisse sans limite, c'est-à-dire qu'il soit infini. Les

sinuosités de la courbe dont - -— est l'ordonnée sont infiniment voisincs. Leur base est une longueur infiniment petite, égale à -• Cela étant, si l'on compare l'aire positive qui repose sur un de ces intervalles - à l'aire négative qui repose sur l'intervalle suivant, et si Ton

désigne par X l'abscisse finie et assez grande qui répond au commencement du premier arc, on voit que l'abscisse x, qui entre comme

dénominateur dans l'expression -- - de l'ordonnée, n'a aucune varia-

tion sensible dans le double intervalle — qui sert de base aux deux

aires. Par conséquent, l'intégrale est la même que si x était une quantité constante. Il s'ensuit que la somme des deux aires qui se succèdent est nulle.

Il n'en est pas de même lorsque la valeur de x est infiniment petite,