CHAPITRE IX. -- DIFFUSION DE LA CHALEUH. W

parce que Tintervalle — a, dans ce cas, un rapport fini avec la valeur (le X. On connaît par là que l'intégrale

'■"/'•^rfx.

JC

dans laquelle on suppose/? un nombre infini, est entièrement formée de la somme de ses premiers termes, qui répondent à des valeurs extrêmement petites de x. Lorsque l'abscisse a une valeur finie X, l'aire ne varie plus, parce que les partiea qui la composent se détruisent deux à deux alternativement. Nous exprimerons ce résultat en écrivant

La quantité cd, qui désigne la limite supérieure de la seconde intégrale, a une valeur infiniment petite; et la valeur de l'intégrale est la même lorsque cette limite est (o et lorsqu'elle est oo,

Cela posé, reprenons l'équation^

j,, . I r^* j., ,sinp(a — ^O , f{x)—-l /(a) — ^^ - —^dx.

Ayant placé l'axe des abscisses a, on tracera au-dessus de cet axe la ligne ^, dont l'ordonnée est /(a). La forme de cette ligne est entièrement arbitraire; elle pourrait n'avoir d'ordonnées subsistantes que dans une ou dans quelques parties de son cours, toutes les autres ordonnées étant nulles.

On placera aussi au-dessus du même axe des abscisses une ligne

courbe $s dont l'ordonnée est '"/^^> z désignant l'abscisse et p un

nombre positif extrêmement grand. Le centre de cette courbe, ou le

point qui répond à la plus grande ordonnée/?, pourra être placé, soit

à l'origine o des abscisses a, soit à l'extrémité d'une abscisse quel- F. 63

conque. On suppose que ce centre est successivement déplacé, et qu'il se transporte en tous les points de Taxe des a, vers la droite à partir du point o. Considérons ce qui a lieu dans une certaine position de la seconde courbe, lorsque le centre est parvenu au point x qui termine une abscisse .r de la première courbe.

La valeur de x étant regardée comme constante, et a étant seuh* variable, l'ordonnée do la seconde courbe sera

sin/)(a — X) a — .r

Si donc on conjugue les deux courbes pour en former une troisième, c'est-à-dire si l'on multiplie cbaque ordonnée de la première par l'ordonnée correspondante de la seconde, et si l'on représente le produit par l'ordonnée d'une troisième courbe tracée au-dessus de l'axe des a, ce produit sera

L'aire totale de la troisième courbe, ou l'aire comprise entre cette courbe et l'axe des abscisses, sera donc exprimée par

Or, le nombre /> étant infiniment grand, la seconde courbe a toutes ses sinuosités infiniment voisines; on reconnaît facilement que, pour tous les points qui sont à une distance finie du point x, l'intégrale définie, ou l'aire totale de la troisième courbe, est formée de parties égales alternativement positives ou négatives et qui se détruisent deux k deux. En effet, pour un de ces points placés à une certaine distance du point .r, la valeur de /(a) varie infiniment peu lorsqu'on augmente

la distance d'une quantité moindre que — Il en est de même «lu

dénominateur a — a-, qui mesure cette distance. L'aire qui répond à

l'intervalle — ^ est donc la même que si les quantités /(a) et a — a-

n'étaient pas variables. Par conséquent, elle est nulle lorsque a — ,r