CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. k

est une grandeur finie. Donc l'intégrale définie peut être prise entre des limites aussi voisines que l'on veut et elle donne, entre ces limites» le même résultat qu'entre des limites infinies. Tout se réduit donc à prendre l'intégrale entre des points infiniment voisins, l'un k gauche, l'autre à droite de celui où a — ce est nul, c'est-à-dire depuis ol =x —oj jusqu'à a = a? -h 0), en désignant par co une quantité infiniment petite. Or, dans cet intervalle, la fonction /(a) ne varie point; elle est égale à/(^) et peut être mise hors du signe d'intégration. Donc la valeur de l'expression est le produit de /{ce) par

sin/?(a — .r) ,

prise entre les limites ol — œ = — (netoL — x — (o.

Or cette intégrale est égale à tt, comme on l'a vu dans Tarlicle précédent; donc l'intégrale définie est égale à izf[x)\ d'où l'on conclut l'équation (*)

~ — / f{a)doL I cos p {.T ~ <x) dp,

•^ — «0 i' eo

La démonstration précédente suppose la notion des quantités infinies, telle qu'elle a toujours été admise par les géomètres. Il serait facile de présenter la même démonstration sous une autre forme en examinant les changements qui résultent de l'accroissement continuel du facteur^ sous le signe sinp{a — x). Ces considérations sont trop connues pour qu'il soit nécessaire de les rappeler.

Il faut surtout remarquer que la fonction /{x) à laquelle cette démonstration s'applique est entièrement arbitraire, et non assujettie

(*) Les raisonnements présentés dans cet article et le précédent ne diffèrent pas essentiellement, on le reconnaît immédiatement, des considérations plus rigoureuses par lesquelles Lejeunc-Dirichlet a établi les propositions de Fourier relatives aux séries trigonométriques. Nous reviendrons plus loin sur cette remarque. G. D.

à une loi continue. On pourrait donc concevoir qu'il s'agit d'une fonction telle que l'ordonnée qui la représente n'a de valeurs subsistantes que si l'abscisse x est comprise entre deux limites données a et b\ toutes les autres ordonnées seraient supposées nulles, en sorte que la courbe n'aurait de forme tracée qu'au-dessus de l'intervalle Ae x = a à or = 6, et se confondrait avec l'axe des a dans toutes les autres parties de son cours.

La même démonstration fait connaître que l'on ne considère point ici des valeurs infinies de x^ mais des valeurs actuelles et déterminées.

On pourrait aussi examiner d'après les mêmes principes les cas où la fonction /(a?) deviendrait infinie pour des valeurs singulières de jcomprises entre des limites données; mais cela ne se rapporte point à l'objet principal que nous avons en vue, qui est d'introduire dans les intégrales les fonctions arbitraires; il est impossible qu'aucune question naturelle conduise à supposer que la fonction /(o-) devient infinie lorsqu'on donne à x une valeur singulière comprise entre des limites données.

En général, la fonction /(^) représente une suite de valeurs, ou ordonnées, dont chacune est arbitraire. L'abscisse x pouvant recevoir une infinité de valeurs, il y a un pareil nombre d'ordonnées f{x). Toutes ont des valeurs numériques ac/M^/Ze^, ou positives, ou négatives, ou nulles. On ne suppose point que ces ordonnées soient assujetties à

une loi commune; elles se succèdent d'une manière quelconque, et chacune d'elles est donnée comme le serait une seule quantité.

11 peut résulter de la nature même de la question et de l'analyse qui s'y applique que le passage d'une ordonnée à la suivante doive s'opérer d'une manière continue. Mais il s'agit alors de conditions spéciales, et l'équation générale (B), considérée en elle-même, est indépendante de ces conditions. Elle s'applique rigoureusement aux fonctions discontinues.

Supposons maintenant que la fonction /(a:) coïncide avec une certaine expression analytique, telle que sino:, e"^ ou ç(^)f lorsqu'on donne à x une valeur comprise entre deux limites a et 6, et que toutes