CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

les valeurs de /(a?) soient nulles lorsque x n'est pas comprise entre a et b\ les limites de l'intégration par rapport à a, dans l'équation pré^ cédente (B), seront donc a = a, a = 6 : car le résultat serait le même que pour les limites a = -- oo, a = oo, toutes les valeurs de /(a) étant nulles, par hypothèse, lorsque a n'est point comprise entre a et h. On aura donc l'équation

(B') f{x)=-^j (p{<x)dxj confia: — a) dp.

Le second membre de cette équation (B') est une fonction de la variable X : car les deux intégrations font disparaître les variables a et/?, et il ne reste que x et les constantes a et b. Or cette fonction équivalente au second membre est telle qu'en y substituant pour ^ une valeur quelconque comprise entre a et b on trouve le même résultat qu'en substituant cette valeur de x dans ^{x), et que l'on trouve un résultat nul si, dans le second membre, on met au lieu de x une valeur quelconque comprise entre a et b. Si donc, en conservant toutes les autres quantités qui forment le second membre, on remplaçait les limites a et b par des limites plus voisines a' et b\ dont chacune fût comprise entre a et b, on changerait la fonction de x qui équivaut au second membre, et l'effet du changement serait tel que ce second membre deviendrait nul toutes les fois que l'on donn,erait à x une valeur non comprise entre a' et b'; et, si la valeur de x était comprise entre a' et //, on aurait le même résultat qu'en substituant cette valeur de x dans ^{x).

On peut donc varier à volonté les limites de l'intégrale dans le second membre de l'équation (B'). Cette équation subsistera toujours pour les valeurs de x comprises entre les limites quelconques a et b que l'on aura choisies; et, si l'on emploie toute autre valeur de x, le second membre sera nul. Représentons (f{x) par l'ordonnée variable d'une courbe dont x est l'abscisse; le second membre, dont la valeur est/(^), représentera l'ordonnée variable d'une seconde courbe dont la figure dépendra des limites a et b. Si ces limites sont — oo et -f-oo,

vm THÉORIE DE LA CHALEUR.

les deux courbes, dont Tune a pour ordonnée ?(^), et Tautre a pour

ordonnée /(a;), coïncideront exactement dans toute Tétendue de leur

cours. Mais, si Ton donne d'autres valeurs a et 6 à ces limites, les deux

courbes coïncideront exactement dans toute la partie de leur cours

qui répond à Tintervalle de^ = aàir = 6. A droite et à gauche de

cet intervalle, la seconde courbe se confondra précisément dans tous

ses points avec l'axe des x. Cette conséquence est très remarquable,

et détermine le véritable sens de la proposition exprimée par Té-

quation (B).

Il faut considérer sous le même point de vue le théorème exprimé par l'équation (II) de l'article 234 (p. :23i). Cette équation sert à développer une fonction arbitraire/(^) en une suite de sinus et de cosinus d'arcs multiples. La fonction /(a?) désigne une fonction entièrement arbitraire, c'est-à-dire une suite de valeurs données, assujetties ou non à une loi commune, et qui répondent à toutes les valeurs de ce comprises entre o et une grandeur quelconque X.

La valeur de cette fonction est représentée par l'équation suivante :

L'intégrale par rapport à a doit être prise entre les limites a=:aet 0L = b; chacune de ces limites aetb est une quantité quelconque comprise entre o et X. Le signe 2 affecte le nombre entier i, et indique que l'on doit donner à i toutes ses valeurs négatives ou positives, savoir :

et prendre la somme des termes placés sous ce signe 2. Le second membre devient, par ces intégrations, une fonction de la seule variable X et des constantes a et b. La proposition générale consiste en ce que : i° la valeur du second membre que l'on trouverait en y mettant, au lieu de x^ une quantité comprise entre a ei h est égale à celle que l'on obtiendrait en mettant cette même quantité au lieu de x dans