CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

la fonction /( a?) ; 2® toute autre valeur de x comprise entre o et X, mais non comprise entre a et b, étant substituée dans le second membre, donne un résultat nul.

11 n'y a ainsi aucune fonction /(or), ou partie de fonction, que l'on ne puisse exprimer en une suite trigonométrique.

La valeur du second membre est périodique, et l'intervalle de la période est X; c'est-à-dire que cette valeur du second membre ne change point lorsqu'on écrit a? -h X au lieu de^r. Toutes ses valeurs successives se renouvellent à chaque intervalle X.

La suite trigonométrique égale au second membre est convergente; le sens de cette dernière proposition est que, si l'on donne à la variable X une valeur quelconque, la somme des termes de la suite s'approche de plus en plus, et infiniment près, d'une limite déterminée. C'est cette limite qui est zéro, si l'on a mis pour x une quantité comprise entre zéro et X, mais non comprise entre a et b; et, si cette quantité mise pour x est comprise entre a et b, la limite de la série a la même valeur que /{x). Cette dernière fonction n'est assujettie à aucune condition, et la ligne dont elle représente l'ordonnée peut avoir une forme quelconque; par exemple, celle d'un contour formé d'une suite de lignes droites et de lignes courbes. On voit par là que, les limites a et 6, l'intervalle total X et la nature de la fonction étant arbitraires, cette proposition a un sens très étendu; et comme elle n'exprime pas seulement une propriété analytique, mais qu'elle conduit facilement à la solution de plusieurs questions naturelles importantes, il était nécessaire de la considérer sous divers points de vue et d'en indiquer les principales applications. On a donné plusieurs démonstrations de ce théorème dans le cours de cet Ouvrage. Celle que nous rapporterons dans un des articles suivants (art. 423) a l'avantage de s'appliquer aussi à des fonctions non périodiques. •

Si l'on suppose l'intervalle X infini, les termes de la série deviennent des quantités différentielles; la somme indiquée par le signe 2 devient une intégrale définie, comme on le voit dans les articles 353 et 355; et l'équation (A) se transforme dans l'équation (B). Ainsi cette der-

50i THÉORIE DE LA CHALEUR.

niërc équation (B) est contenue dans la précédente et convient au cas où l'intervalle X est infini : alors les limites a et 6 sont évidemment des constantes entièrement arbitraires.

Le théorème exprimé par l'équation (B) offre aussi diverses applications analytiques, que nous ne pourrions exposer sans nous écarter de l'objet de cet Ouvrage; mais nous énoncerons le principe dont ces applications dérivent.

On voit que, dans le second membre de l'équation

(B') -^(^^^^ f fi^)^<^f cosp(x^a)dp,

la fonction /(ir) est tellement transformée que le signe de fonction/ n'affecte plus la variable x^ mais une variable auxiliaire a. La variable X est seulement affectée du signe cosinus. Il suit de là que, pour différentier la fonction f{x) par rapport à x^ autant de fois que l'on voudra, il suffira de différentier le second membre par rapport à x sous le signe cosinus. On aura donc, en désignant par i un nombre entier quelconque.

dx^'

~^^ 7 /(«)^«/ p^'co^p{x^a)dp

On écrit le signe supérieur lorsque i est pair, et le signe inférieur lorsque i est impair. On aura, en suivant cette même règle relative au choix du signe :

On pei>t aussi intégrer plusieurs (pis de suite par rapport à ^ le second membre de l'équation (B); il suffit d'écrire au devant du signe sinus ou cosinus une puissance négative de/>.

La même remarque s'applique aux différentiations finies, ou aux intégrales désignées par le signe 2, et en général aux opérations ana-