CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

lytiques qui peuvent s'effectuer sur les quantités Irigonométriques. Le caractère principal du théorème dont il s'agit est de transporter le signe général de fonction à une variable auxiliaire, et do placer la variable X sous le signe trigonométrique. La fonction /(^r) acquiert en quelque sorte, par cette transformation, toutes les propriétés des quantités trigonométriques; les différentiations, les intégrations et la sommation des suites s'appliquent ainsi à des fonctions générales de la même manière qu'aux fonctions trigonométriques ou exponentielles. C'est pour cela que l'emploi de cette proposition donne immédiatement les intégrales des équations à différences partielles à coefficients constants. En effet, il est évident que Ton peut satisfaire à ces équations par des valeurs particulières exponentielles; et, comme les théorèmes dont nous parlons donnent à des fonctions générales et arbitraires le caractère des quantités exponentielles, ils conduisent facilement à l'expression des intégrales complètes. Cette même transformation donne aussi, comme on l'a vu dans l'article 413 (p. 490» ^^ moyen facile de sommer les suites infinies, lorsque ces suites contiennent les différentielles successives ou les intégrales successives d'une même fonction : car la sommation de la suite est réduite, par ce procédé, à celle d'une suite de termes algébriques.

On peut aussi faire usage du théorème dont il s'agit pour substituer sous le signe général de fonction un binôme formé d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Cette question d'Analyse s'est présentée dès l'origine du calcul des différences partielles, et nous l'indiquerons ici parce qu'elle a un rapport plus direct avec notre objet principal.

Si, dans la fonction /(a?), on écrit (x-hvv^— i au lieu de x, le résultat sera formé de deux parties © -f- 'j» ^— i . Il s'agit de connaître en [X et V chacune des deux fonctions <p et vj/. On y parviendra facilement si l'on remplace/(ar) par l'expression

car la question sera réduite à substituer [jl + v y/— i au lieu de x sous le signe cosinus, et à calculer le terme réel et le coefTicient de v^— (• On aura ainsi

~I~ I /(*)^^/ [(eP'^-h e-P'')cosp(ii'- oc) --s/^i ieP'^ — e-P^) sinpiiJL — (x)]dp;

donc