CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

déduire l'intégrale cherchée de celle de Téquation

qui est connue depuis longtemps; mais on trouve des quantités imaginaires sous le signe de fonction. Cette intégrale est

La seconde partie W de l'intégrale dérive de la première en intégrant par rapport à y, et changeant ç en ^. Il reste donc k transformer les quantités <^{x -h y y/— i) et 9(0? — y y^— i), afin de séparer les parties réelles des parties imaginaires. Suivant le procédé de l'article précédent, on trouve, pour la première partie w de l'intégrale,

u=zj- I f{oL)dciii (ePy'-he-py)cosp{x — oc)dpj

et, par conséquent,

W=7^ r F{a)daC (ePr— e-py)cosp{a: — oc)^-

L'intégrale complète de la proposée, exprimée en termes réels, est donc

et l'on reconnaît en effet: 1® qu'elle satisfaite l'équation différentielle; a° qu'en y faisant y = o, elle donne t^ = f[x)\ 3® qu'en faisant j = o

dans la fonction -t-> le résultat est Yix).

Nous ferons aussi remarquer que l'on peut déduire de l'équation (B) une expression très simple du coefficient différentiel de l'ordre indé-

fini •jTif{^)y ^^ de l'intégrale / f{x)dx\

L'expression cherchée est une certaine fonction de x et de l'indice I. Il s'agit de connaître cette fonction sous une forme telle que le

nombre i n'y entre point comme indice, mais comme une quantité, afin de comprendre dans une même formule tous les cas où Ton attribue à i des valeurs positives ou négatives quelconques. Pour y parvenir, nous remarquerons que l'expression

ITT .171

cosir-hi-) ou cos/cos smrsm —

devient successivement

— sinr, — cosr, 4-sinr, -hcosr, — sinr, ...,

si les valeurs respectives de i sont i, 2, 3, 4» 5, Les mêmes

résultats reviennent dans le même ordre lorsqu'on augmente la valeur de i. Il faut maintenant, dans le second membre de l'équation

/(•2') = — / f{^)d(xj cosp{x — <x)dp,

écrire le facteur^' au devant du signe cosinus, et ajouter sous ce signe le terme H On aura ainsi

ï^-^^^^'^i^/ /(a)c?aj cos(pj:-p»-^i'^jp^dp.

Le nombre i qui entre dans le second membre sera regardé comme une quantité quelconque, positive ou négative.

Nous n'insisterons point sur ces applications à l'Analyse générale; il nous suffit d'avoir montré par divers exemples l'usage de nos théorèmes. Les équations du quatrième ordre {d) (art. 405, p. 476) et {e) (art. 401, p. 471) appartiennent, comme nous l'avons dit, à des questions dynamiques. On ne connaissait point encore les intégrales de ces équations lorsque nous les avons données dans un Mémoire sur les vibrations des sur/aces élastiques, lu à la séance de l'Académie des Sciences le 6 juin 1816 (art. VI, § 10 et 11, et art. VII, § 13 et 14) (*).

( ^ ) La date indiquée ici par Fourier est inexacte ; nous nous en sommes assuré en consultant les procès- verbaux des séances de l'Académie des Sciences. En réalité, le Mémoire