CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

Elles consistaient dans les deux formules (S) et (S') (art. 406, p. ^'jgoX 480) et dans les deux intégrales exprimées, Tune par la première équation de l'article 412 (p. 488), l'autre par la dernière équation du même article. On a donné ensuite diverses autres démonstrations de ces mêmes résultats. Ce Mémoire contenait aussi l'intégrale de Téquar tion {c) (art. 409, p. 483) sous la forme rapportée dans cet article. Quant a l'intégrale (PP) de l'équation (a) (art. 413, p. 489 et 492), elle est ici publiée pour la première fois.

Les propositions exprimées par les équations (B') et (A) (art. 417 et 418, p. Soi et 002), dont nous avons montré diverses applications, peuvent être considérées sous un point de vue plus général. La construction indiquée dans les articles 415 et 416 (p. 495 et 496) ne s'applique pas seulement à la fonction trîgonométrique ^^^ • ®H^

convient à toutes les autres fonctions et suppose seulement que, le nombre/? devenant infini, on trouve la valeur de l'intégrale par rapport a a en prenant cette intégrale entre des limites extrêmement voisines. Or cette condition n'appartient pas seulement aux fonctions trigonométriques : elle s'applique à une infinité d'autres fonctions. On parvient ainsi à exprimer une fonction arbitraire /(^) sous diverses formes très remarquables; mais nous ne faisons point usage de ces transformations dans la recherche spéciale qui nous occupe.

Quant à la proposition exprimée par l'équation (A) (art. 418, p. 002), il est également facile d'en rendre la vérité sensible par des constructions, et c'est pour ce théorème que nous les avons d'abord employées. Il suffira d'indiquer la marche de la démonstration.

de Fourier a été lu dans la séance du 8 juin 181 8. Ce travail n'a pas été imprimé. Un extrait en a paru, sous le titre : Note relative aux vibrations des surfaces élastiques et au mouvement des ondes, par M. Fourier, dans le Bulletin des Sciences de la Société philomathique y livraison de septembre 181 8, p. 129. Le Mémoire est d'ailleurs signalé dans Y Analyse des travaux de l'Académie des Sciences pour l'année 1818. G. D.

Dans Téquation (A), savoir

on remplacera la somme des termes placés sous le signe 2) par sa valeur qui se déduit de théorèmes connus. Nous avons vu précédemment divers exemples de ce calcul (Sect. III, Chap. III). En supposant, pour rendre l'expression plus simple, X = 2ir, et désignant a — ic par r, il donne ce résultat

sinr

2cosi/=:cosy>4-siny>g.^^^.

Il faut donc multiplier le second membre de cette équation par/(a) É?a, supposer le nombrey infini, et intégrer depuis a = -— ir jusqu^à a = -h u. La ligne courbe dont l'abscisse est a et l'ordonnée cosyr étant conjuguée avec la ligne dont l'abscisse est a et l'ordonnée /(a), c'est-à-dire les ordonnées correspondantes étant multipliées l'une par l'autre, il est manifeste que l'aire de la courhe produite, prise entre des limites quelconques, devient nulle lorsque le nombre/croit sans limite. Ainsi le premier terme cosyr donne un résultat nul.

Il en serait de même du terme sinyr s'il n'était pas multiplié par le

facteur . y -, mais, en comparant les trois courbes qui ont pour

abscisse commune a, et pour ordonnées sinr, . ^ > /(*), on recon-

naît évidemment que l'intégrale / sinyr V^y /{oL)doL n'a de valeurs

subsistantes que pour de certains intervalles infiniment petits; savoir,

lorsque l'ordonnée . ,. devient infinie. Cela aura lieu si r ou a — x

est nulle; et, dans cet intervalle où a diffère infiniment peu de o^, la valeur de /(a) se confond avec/(£r). Donc l'intégrale devient

f sinyr p^^/- ou 4/(^) / sin/r — ,