CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR
qui est égale à 'nzf{x) (art. 415 et 356, p. 496 et 4o3). On en conclut Téquation précédente (A)(*).
Lorsque la variable x est précisément égale à — ir, ou -h u, la construction fait connaître quelle est la valeur du second membre de cette équation (A).
Si les limites de l'intégration ne sont pas — ir et h- ir, mais d'autres
(M L'intégrale peut aussi se mettre sous la forme
« ,7C — Jî"
/ /( J7 -h r) sin /> . ., dr.
— li — X
Fourier montre ici, par des raisonnements exacts dans le fond, bien que manquant de précision, que, lorsque le nombre j croît indéfiniment, cette intégrale « n'a de valeurs subsistantes que pour de certains intervalles infiniment petits, ceux pour lesquels l'ordonnée
. ., devient infinie ». D'après cela, si la variable x est comprise entre — it et h- n, . ., smVr r j V sniVr
devient infinie pour la seule valeur zéro donnée à r, et Ton a, pour la limite,
fix)f siny> j^ dr = 2/(.r) / 8iny>-f = 4/(j:) / siny> ■-
OU 2t:/(x).
Fourier indique aussi que la méthode s'applique aux valeurs limites — ir et + ir. En effet, prenons, par exemple, x= — n. Dans ce cas, l'intégrale dont il s'agit d'obtenir la limite sera
I y(r -• TTjsinyr . -. dr:
Q smVr '
sin/* le facteur . deviendra infini pour r = o et pour r = 21t. En réduisant Tintégraie à sa
valeur prise dans le voisinage de ces limites, on a, pour r = o,
f* dr
sinyVj- =7t/(— it)
et, pour r = 2t:, en remplaçant r par 27t — /•',
dr'
Je dr
f sinyX J--7 = «/(-»- ît).
La valeur limite de l'intégrale est donc
^[/(-T^)-^-/(-+-^)]- Fourier considère aussi le cas où les limites de l'intégration comprennent un intervalle
nombres a et 6, dont chacun est compris entre — ir et -h ir, on voit par la même figure quelles sont les valeurs de x pour lesquelles le second membre de Téquation (Â) est nul.
Si l'on conçoit qu'entre les limites de l'intégration certaines valeurs de a deviennent infinies, la construction indique dans quel sens la proposition générale doit être entendue. Mais nous ne considérons point ici les cas de cette nature, parce qu'ils n'appartiennent point aux questions physiques.
Si, au lieu de restreindre les limites — it et -hir, on donne plus
supérieur ù a?:, et il indique que « le second membre de Téqualion (A) est alors formé do plusieurs termes et donne le résultat d'une intégration (c'est-à-dire d'une sommation) finie, quelle que soit la fonction /(jr) ».
Considérons, en effet, l'intégrale
J] f(a) sin /> . „ dr ou
J(x +- r) sm;r — "j.— dr, ^ •'^ ^ "^ smVr '
et supposons que la différence b' — a' soit supérieure à itz. Alors il y aura plusieurs inler-
valles infiniment petits pour lesquels l'ordonnée . .. deviendra infinie. Soient
O, 'ITt, ^TZj . . ., ihiz
les valeurs correspondantes de /*. En général, aucune de ces valeurs n'est égale à la limite
inférieure ou à la limite supérieure de l'intégrale. Alors, en appliquant la méthode de Fou-
fier, on trouvera
2Tr[/(j7) -\-f{jr-^ 2Tr)-h. . .-i-/(.r-f- a/zr)]
pour la limite do Tintégrale. Tel est le résultat de « l'intégration » dont parle Fourier dans le passage cité. Si une des valeurs de o ou 2/1 x est égale à une des limites de l'intégrale, il faudra remplacer le terme correspondant par sa moitié.
Telles sont les règles qui résultent do la construction; elles auraient mérité d'être énoncées, au lieu d'être simplement indiquées. Lejeune-Dirichlot, nous croyons utile de le répéter, a suivi précisément la marche qui est indiquée ici par Fourier, mais en apportant dans les raisonnements une oxtrêmo précision, qui était d'ailleurs bien nécessaire dans une iqucstion aussi importante. Loin de nous la pensée do méconnaître le progrès réel et considérable apporté par les Mémoires de Dirichlet, dans un sujet où les efforts de Poisson et do Cauchy n'avaient pas été couronnés d'un plein succès. Mais il nous parait juste de remarquer que Fourier, avec ce sens si profond des questions de philosophie naturelle qui doit exciter notre admiration, avait indiqué et même parcouru, bien qu'à pas incertains, la voie dans laquelle on devait trouver la première démonstration exacte des résultats fondamentaux que lui doit la Physique mathématique. G. l>.
