CHAPITRE IX. ~ DIFFUSION DE LA CHALEUR

d'étendue a l'intégrale, en choisissant des limites plus distantes a' et //, on connaît par la même figure que le second membre de l'équation (A) est formé de plusieurs termes, et donne le résultat d'une intégration finie, quelle que soit la fonction /(a?).

On trouve des résultats semblables si l'on écrit -^(a — ^r) au lieu

de r, et si les limites de l'intégration sont — X et -hX.

Il faut considérer maintenant que les conséquences auxquelles on est parvenu auraient encore lieu pour une infinité de fonctions différentes de sinyr. Il suffit que ces fonctions reçoivent des valeurs alternativement positives et négatives, en sorte que l'aire devienne nulle

lorsque y croît sans limite. On peut faire varier aussi le facteur -—y-'

ainsi que les limites de l'intégration, et l'on peut supposer que l'intervalle devient infini. Ces sortes d'expressions sont donc très générales et susceptibles des formes les plus diverses. Nous ne pouvons nous arrêter à ces développements; mais il était nécessaire de montrer l'emploi des constructions : car elles résolvent sans aucun doute les questions qui peuvent s'élever sur les valeurs extrêmes et sur les valeurs singulières; elles n'auraient pu servir à découvrir ces théorèmes, mais elles les démontrent et en dirigent toutes les applications.

Nous avons encore à faire envisager ces mêmes propositions sous un autre point de vue. Si l'on compare entre elles les solutions relatives au mouvement varié de la chaleur dans l'armille, la sphère, le prisme rectangulaire, le cylindre, on voit que nous avions à développer une fonction arbitraire /(a?) en une suite de termes tels que

La fonction 9, qui, dans le second membre de l'équation (A), est un

cosinus ou un sinus, est remplacée ici par une fonction qui p^ut être

très différente du sinus. Les nombres [jl,, (jl^, [Xg, ..., au lieu d'être

des nombres entiers, sont donnés par une équation transcendante dont les racines, en nombre infini, sont toutes réelles. La question consistait à trouver les valeurs des coefficients a,, ^a, «3, ... ; on y est parvenu au moyen des intégrations définies qui font disparaître toutes les inconnues excepté une seule. Nous allons examiner spécialement la nature de ce procédé et les conséquences exactes qui en dérivent.

Afin de donner à cet examen un objet plus déterminé, nous choisirons pour exemple une des questions les plus importantes, savoir celle du mouvement varié de la chaleur dans la sphère solide. On a vu (art. 290, p. 3 12) que, pour satisfaire à la distribution initiale de la chaleur, il faut déterminer les coefficients

Ui, Uif tZj, • > • ,

dans l'équation

(e) a:V{x) zzza, sinfjL, J74- «iSin/jL,jr 4- ajsin/jtjjr -h

La fonction F(a?) est entièrement arbitraire; elle désigne la valeur v de la température initiale et donnée de la couche sphérique dont le rayon est X. Les nombres [x,, pL.,, ... sont les racines [jl de l'équation transcendante

X est le rayon total de la sphère; h est un coefficient numérique connu, d'une valeur positive quelconque. Nous avons prouvé rigoureusement, dans nos premières recherches, que toutes les valeurs de (x, ou les racines de l'équation (/), sont réelles. Cette démonstration est déduite de la théorie générale des équations et n'exige point que Ton suppose connue la forme des racines imaginaires que toute équation peut avoir. Nous ne l'avons point rappelée dans cet Ouvrage, parce qu'elle est suppléée par des constructions qui rendent la proposition plus sensible. Au reste, nous avons traité cette même question par l'Analyse, en déterminant le mouvement varié de la chaleur dans un corps cylindrique (art. 308, p. 335 et 336). Cela posé, la question consiste à