CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR

trouver pour a,, a^» ^^s» ••• des valeurs numériques telles que le second membre de l'équation [e) devienne nécessairement égal à x¥{x) lorsqu'on y mettra pour x une valeur quelconque comprise entre o et la longueur totale X.

Pour trouver le coefficient a,-, nous avons multiplié l'équation {e) par sin[iixdx, et ensuite intégré entre les limites x=:o, .r = X, et nous avons démontré (art. 291, p. 3i3) que l'intégrale

sin/jL/j: sUïiÂjxdx

a une valeur nulle toutes les fois que les indices i ety" ne sont point les mêmes; c'est-à-dire lorsque les nombres (x, et (Xy sont deux racines différentes de l'équation (/). 11 suit de là que, l'intégration définie faisant disparaître tous les termes du second membre excepté celui qui contient «/, on a, pour déterminer ce coefficient, l'équation

/x¥{x)s\nnia: (ix =zai I sin'jUL/x^j?.

Mettant cette valeur du coefficient a^ dans l'équation {e), on en conclut l'équation identique

/ aF(a) sin/jL^a t/a

(s) ûcF{x) =2 sinyLiX — j^

f sinV/|3^(3

Il faut, dans le second membre, donner à i toutes ses valeurs, c'està-dire mettre successivement, au lieu de (jl„ toutes les racines [x de l'équation (/). L'intégrale doit être prise pour a, depuis a = o jusqu'à a = X, ce qui fait disparaître l'indéterminée a. Il en est de même de p, qui entre dans le dénominateur; en sorte que le terme sintx/^ est multiplié par un coefficient a^ dont la valeur ne dépend que de X et de l'indice i. Le signe 2 indique qu'après avoir donné à i ses différentes valeurs, il faut écrire la somme de tous les termes.

L'intégration offre donc un moyen très simple de déterminer immé-

(liâtement les coefficients; mais il faut examiner attentivement l'origine de ce procédé, ce qui donne lieu aux deux remarques suivantes : 1** Si, dans l'équation (e), on avait omis d'écrire une partie des termes, par exemple tous ceux où l'indice est un nombre pair, on trouverait encore» en multipliant l'équation par sin[Uixdjc et intégrant depuis x = o jusqu'à ^ = X, cette même valeur de a, qui a été déterminée précédemment; et l'on formerait ainsi une équation qui ne serait point vraie; car elle ne contiendrait qu'une partie des termes de l'équation générale, savoir ceux dont l'indice est impair.

2° L'équation complète (e) que l'on obtient après avoir déterminé les coefficients, et qui ne diffère point de l'équation rapportée à l'article 291 (p. 3i4), dans laquelle on ferait / = o et ^ = F(^), est telle que, si l'on donne à x une valeur quelconque comprise entre o et X, les deux membres sont nécessairement égaux; mais on ne peut point conclure, comme nous l'avons fait observer, que cette égalité ait lieu si, choisissant pour le premier membre œ¥{x) une fonction assujettie h une loi continue, telle que sina? ou coso?, on donnait à x une valeur non comprise entre o ctX. En général, l'équation résultante (e) doit être appliquée aux valeurs de x comprises entre o et X. Or le procédé qui détermine le coefficient a,- ne fait point connaître pourquoi toutes les racines pi/ doivent entrer dans l'équation (e), et pourquoi cette équation se rapporte uniquement aux valeurs de x comprises entre o et X.

Pour résoudre clairement ces questions, il suffit de remonter aux principes qui servent de fondement a notre analyse.

Nous divisons l'inlervalle X en un nombre infini n de parties égales à dx, en sorte que Ton a

n dx =z X ;

et, écrivant/(.r) au lieu de xF{x), nous désignons par

• yi» yi» ya» •••» y/i •••» Jn

les valeurs de/(:r) qui répondent aux valeurs

cixj 2 dx, 3 dx, . . . , idx, . . . , n dx