CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

attribuées à x; nous composons l'équation générale {e) d'un nombre /^ (le termes, en sorte qu'il y entre n coefficients inconnus

Cela posé, cette équation (e) représente les n équations du premier degré que l'on formerait en y mettant successivement, au lieu de .r, ses n valeurs

djCy 2 dxy 3 cljCy , • . , n dx^

Ce système de n équations contient dans la première /,, dans la seconde/2, dans la troisième/,, . . . , dans la ^i*^™*/^. Pour déterminer le premier coefficient a<, on multiplie la première équation par œ^, la seconde par a^, la troisième par (T3, ainsi de suite, et l'on ajoute ensemble les équations ainsi multipliées. Les facteurs a,, o-j, 0*3, . . . , a^ doivent être déterminés par cette condition que la somme de tous les termes des seconds membres qui contiennent a^ soit nulle, et qu'il en soit de même pour tous les coefficients suivants «3, a^, ..., a„. Donc, toutes les équations étant ajoutées, le coefficient a, entre seul dans le résultat, et l'on a une équation pour déterminer ce coefficient. Ensuite, on multiplie de nouveau toutes les équations par d'autres facteurs respectifs p^, pa, pa, ..., p„, et ces facteurs sont déterminés en sorte qu'en ajoutant les n équations, tous les coefficients soient éliminés excepté a^. On a donc une équation pour déterminer a.^. On continue des opérations semblables, et, choisissant toujours de nouveaux facteurs, on détermine successivement tous les coefficients inconnus. Or il est manifeste que ce procédé d'élimination est précisément celui qui résulte de l'intégration entre les limites o et X. La série a,, a^, 0-3, . . ., ci„ des premiers facteurs est

%\ï\{lkidœ)dxy sm{2 II idx)dx y ..., s\n{niXidx)dx.

En général, la série des facteurs qui servent à éliminer tous les coefficients, excepté a/, est

s\n{iXidx)dx, sin {2 iJiidx)dx y ..., s\n{nii{dx)dx;

elle est représentée {Wir le terme général sin (x^o; ctr, dans lequel on donne successivement k x toutes les valeurs

dx^ 1 cix, 3 dx^ . . , , n dx.

On voit par là que le procédé qui nous sert à déterminer les coefficients ne diflere en rien du calcul ordinaire de Télimination dans les équations du premier degré. Le nombre n des équations est égal à celui des quantités inconnues a,, a^^ a,, ..., a^,, et le même que le nombre des quantités données/,, /a, /j, ...,/„. Les valeurs trouvées pour les coefficients sont celles qui doivent avoir lieu pour que les n équations subsistent à la fois, c'est-à-dire pour que Téquation [t) subsiste lorsqu'on donne à x une de ces n valeurs comprises entre o et X; et, comme le nombre n est infini, il s'ensuit que le premier membre f[x) coïncide nécessairement avec le second, lorsque la valeur x substituée dans l'un et l'autre est comprise entre o et X.

La démonstration précédente ne s'applique pas seulement aux développements dont la forme est

rtj sinjULix 4- asSinjULsJT +a3sin|UL3^ -h. . . -h a,sin|ji^x;

elle convient à toutes les fonctions <^{^ix) que l'on pourrait substituer à sin[JL,a? en conservant la condition principale, savoir que l'intégrale

/ <p(//rr)(p(//yj;)e/^

ait une valeur nulle lorsque i eij sont des nombres différents. Si l'on propose de développer /(j?) sous cette forme

/{x) =z a 4-^1 cosj? H- a, C0S2JC -h. . .-f- a/cos/x-h. . . -f- 6, sin:r 4- ^tsin^^r -+-...-+- biS'mix -h. . .,

les racines [x,, [Xj, [Xg, ..., jX/, ... seront des nombres entiers et, la condition

COS 2 71 1 ^ COS 2 TTy ^ dx 1=1 o