CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. 5lî

ayant toujours lieu lorsque les indices i et y sont des nombres différents, on obtient, en déterminant les coefficients a/, b^, l'équation générale (II) (art. 234, p. 23i) qui ne diffère pas de Téquation (A)

(art. 418, p. 5o2).

Si Ton omettait dans le second membre de l'équation [e] un ou plusieurs des termes qui répondent a une ou plusieurs racines [ji,- de Téquation (/), Téquation (e) ne serait pas vraie en général. Pour s'en convaincre, supposons qu'un terme contenant (Xy et Uj ne soit point écrit dans le second membre de l'équation (e), on pourrait multiplier respectivement les n équations par les facteurs

ç\ii(\ijdx)dx, sïn ( Il j 2 dx)d.r, ..., s\n{[ï.jndx) dx^

et, en les ajoutant, la somme de tous les termes des seconds membres serait nulle; en sorte qu'il ne resterait aucun des coefficients inconnus. Le résultat formé de la somme des premiers membres, c'est-à-dire la somme des valeurs /,, /a,/,, ...,/„, multipliées respectivement par les facteurs

%m{[ijdx) dxj s\ïi{\Ljidx)dxj ..., sin{iJijndx)dx,

se réduirait à zéro. Il faudrait par conséquent que cette relation existât entre les quantités données /^ , /j, /j, . . . , Z^, et l'on ne pourrait point les considérer comme entièrement arbitraires, ce qui est contre l'hypothèse. Si ces quantités/^,/2,/3, ...»/« ont des valeurs quelconques, la relation dont il s'agit ne subsiste point, et l'on ne pourrait pas satisfaire aux conditions proposées en omettant un ou plusieurs termes tels que ajS\n[Ujx dans l'équation {e). Donc, la fonction /(a?) demeurant indéterminée, c'est-à-dire représentant le système d'un nombre infini d'e constantes arbitraires qui correspondent à des valeurs de .r comprises entre o et X, il est nécessaire d'introduire dans le second membre de l'équation {e) tous les termes tels que ay sin [Ujx, qui satisfont à la condition

/ sinyiixsinixjxdx^zo,

les indices «ety étant différents; mais s'il arrivait que la fonction /(a-) fût telle que les n grandeurs/,, /a, /g, ,..,/„ eussent entre elles cette relation exprinnée par l'équation

sinixjx /{x) dx =io.

il est évident que le terme ajûn^jX pourrait être omis dans Téquation [e).

Ainsi, il y a plusieurs classes de fonctions f{x) dont le développement, représenté par le second membre de l'équation (c), ne contient pas certains termes correspondants à quelques-unes des racines [x. Il y a, par exemple, des cas où Ton doit omettre tous les termes dont l'indice est pair, et nous en avons vu divers exemples dans le cours de cet Ouvrage. Mais cela ne peut avoir lieu si la fonction f{jo) a toute la généralité possible. Dans tous les cas, on doit supposer le second membre de l'équation [e] complet, et le calcul fait connaître les termes qui peuvent être omis parce que leurs valeurs deviennent nulles.

On voit clairement par cet examen que la fonction f[x) représente, dans notre analyse, le systëirne d'un nombre n de quantités séparées, correspondantes aux n valeurs de x comprises entre o et X, et que ces n quantités ont des valeurs actuelles, et par conséquent non infinies^ choisies à volonté. Toutes pourraient être nulles, excepté une seule dont la valeur serait donnée.

Il pourrait arriver que la série de ces n valeurs/,,/2,/3, ...,/, fût exprimée par une fonction assujettie à une loi continue, telle que x^ x^9 siniT, cosa?, ou en général ^{x); alors la ligne courbe dont les ordonnées représentent les valeurs correspondantes aux abscisses x, et qui est placée au-dessus de l'intervalle de a: = o à a? = X, se confond dans cet intervalle avec la courbe dont l'ordonnée est 9(0?), et les coefficients a,, a^, a,, ..., a^ de l'équation (e), déterminés par la