CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR

règle précédente, satisfont toujours à cette condition qu'une valeur de ce comprise entre o et X donne le même résultat, étant substituée dans ç(cr) et dans le second membre de l'équation (e).

F(j?) représente la température initiale de la couche sphérique dont le rayon est X. On pourrait supposer, par exemple, que l'on a F{x) = bx, c'est-à-dire que la. chaleur initiale croît proportionnellement à la distance, depuis le centre, où elle est nulle, jusqu'à la surface, où elle est bX. Dans ce cas, xF{x) o\x/{x) est égale à bx^; en appliquant à celte fonction la règle qui détermine les coefficients, on développerait bx^ en une suite de termes, tels que

fli sin/JL, J7 H- a, sinfxsx -h «s sin/jLjx -+-

Or chaque terme sin[iL/a;, étant développé selon les puissances de x, no contient que des puissances de rang impair, et la fonction bx^ est une puissance de rang pair. Il est très remarquable que cette fonction bx'\ désignant une suite de valeurs données pour l'intervalle de o à X, puisse être développée en une suite de termes, tels que

a/sin|jL/^.

Nous avons déjà prouvé l'exactitude rigoureuse de ces résultats, qui ne s'étaient point encore présentés dans l'Analyse, et nous avons montré le véritable sens des propositions qui les expriment. On a vu, par exemple, dans l'article 223 (p. 2i4) que la fonction cosx est développée en une suite de sinus d'arcs multiples; en sorte que, dans l'équation qui donne ce développement, le premier membre ne contient que des puissances paires de la variable et le second ne contient que des puissances impaires. Réciproquement, la fonction sinx, où il n'entre que des puissances impaires, est résolue (art. 225, p. 217) en une suite de cosinus, qui ne contiennent que les puissances paires.

Dans la question actuelle relative à la sphère, la valeur de xY{x) est développée au moyen de l'équation (e). Il faut ensuite, comme on le voit (art, 290, p. 3 12), écrire dans chaque terme le facteur exponentiel, qui contient /, et l'on a, pour exprimer la température fs qui F. 66

est une fonction de x et /, l'équation

/ aF(a) sin|UL,a^a

(E) a:v =y! e^^^V s\ïi[LiX~ ^

f sinV/P^P

La solution générale que donne celte équation (E) est totalement indépendante de la nature de la fonction Y{x), parce que cette fonction ne représente ici qu'une multitude infinie de constantes arbitraires, qui répondent à autant de valeurs de x comprises entre o et X.

Si Ton supposait la chaleur primitive contenue dans une seule partie de la sphère solide, par exemple depuis a; = o jusqu'à x = ^X, et que les températures initiales des couches supérieures fussent nulles, il suffirait de prendre l'intégrale

J%\X\li.tOLf{(X)d(X

entre les limites a? = o et j? = ^X.

En général, la solution exprimée par l'équation (E) convient à tous les cas, et la forme du développement ne varie point selon la nature de la fonction.

Supposons maintenant que, ayant écrit sina? au lieu de F(.r), on ait déterminé par l'intégration les coefficients a, et que l'on ait formé l'équation

Il est certain qu'en donnant à x une valeur quelconque comprise entre o et X, le second membre de cette équation équivaut à x^\nx\ c'est une conséquence nécessaire de notre calcul. Mais il ne s'ensuit nullement qu'en donnant à x une valeur non comprise entre o et X, la même égalité aura lieu. On voit très distinctement le contraire dans les exemples que nous avons cités; et, si l'on excepte les cas particuliers, on peut dire que la fonction, assujettie à une loi continue, qui formerait le premier membre des équations de ce genre ne coïncide