CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

avec là fonction exprimée par le second membre que pour les valeurs de X comprises entre o et X.

A proprement parler, Téquation (e) est identique, et elle subsiste pour toutes les valeurs que Ton attribuerait à la variable x; mais Tun et Tautre membre de cette équation représentent une certaine fonction analytique qui coïncide avec une fonction connue f{x) si Ton donne à la variable x des valeurs comprises entre o et X. Quant à l'existence de ces fonctions, qui coïncident pour toutes les valeurs de la variable comprises entre certaines limites et différent pour les autres valeurs, elle est démontrée par tout ce qui précède, et les considérations de ce genre sont un élément nécessaire de l'analyse des différences partielles.

Au reste, il est évident que les équations (e) et (E) ne s'appliquent pas seulement à la sphère solide dont le rayon est X : elles représentent, l'une l'état initial, l'autre l'état variable du solide infiniment étendu dont le corps sphérique fait partie; et lorsqu'on donne dans ces équations, à la variable ar, des valeurs plus grandes que X, elles se rapportent aux parties de ce solide infini qui enveloppe la sphère. Cette remarque convient aussi à toutes les questions dynamiques que l'on résout par l'analyse des différences partielles. *

Pour appliquer la solution donnée par l'équation (E) au cas où une seule couche sphérique aurait été primitivement échauffée, toutes les autres ayant une température initiale nulle, il suffirait de prendre l'intégrale

j 0LÏ{a)^m\Li(xdcf,

entre deux limites extrêmement voisines a = ret a = r-f-i/, r étant le rayon de la surface intérieure de la couche échauffée, et u l'épaisseur de cette couche.

On peut aussi considérer séparément l'effet résultant de réchauffement initial d'une autre couche comprise entre les limites r+<i et

52i THÉORIE DE LA CHALEUR.

r'i'2u; et, si l'on ajoute la température variable due à cette seconde cause à la température que Ton avait d'abord trouvée lorsque la première couche était seule échauffée, la somme des deux températures est celle qui aurait lieu si les deux couches étaient échauffées a la fois. Il suffirait, pour avoir égard aux deux causes réunies, de prendre l'intégrale

y « F(a) sinixiocdoc

entre les limites a = ret a = r-i- 2u. Plus généralement, l'équation (E) pouvant être mise sous cette forme

on reconnaît que l'effet total de réchauffement des différentes couches est la somme des effets partiels que Ton déterminerait séparément en supposant que chacune des couches a été seule échauffée. La même conséquence s'étend à toutes les autres questions de la Théorie de la chaleur; elle dérive de la nature même des équations, et la forme des intégrales la rend manifeste. On voit que là chaleur contenue dans chaque élément d'un corps solide produit son effet distinct, comme si cet élément avait été seul échauffé, tous les autres ayant une température initiale nulle. Ces divers états se superposent en quelque sorte et se rassemblent pour former le système général des températures.

C'est pour cette raison que la forme de la fonction qui représente l'état initial doit être regardée comme entièrement arbitraire. L'intégrale définie qui entre dans l'expression de la température variable, ayant les mêmes limites que le solide échauffé, montre expressément que l'on réunit tous les effets partiels dus à réchauffement initial de chaque élément.

Nous terminerons ici cette Section, dont l'objet appartient presque entièrement à l'Analyse. Les intégrales que nous avons obtenues ne