CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

sont point seulement des expressions générales qui satisfont aux équations différentielles : elles représentent de la manière la plus distincte l'effet naturel, qui est l'objet de la question. C'est cette condition prin* cipale que nous avons eue toujours en vue, et sans laquelle les résultats du calcul ne nous paraîtraient que des transformations inutiles. Lorsque cette condition est remplie, l'intégrale est, à proprement parler, Véqua^ tion du phénomène; elle en exprime clairement le caractère et le progrès, de même que l'équation finie d'une ligne ou d'une surface courbe fait connaître toutes les propriétés de ces figures. Pour découvrir ces solutions, nous ne considérons point une seule forme de l'intégrale; nous clierchons à obtenir immédiatement celle qui est propre à la question. C'est ainsi que l'intégrale qui exprime le mouvement de la chaleur dans une sphère d'un rayon donné est très différente de celle qui exprime ce mouvement dans un corps cylindrique, ou même dans une sphère d'un rayon supposé infini. Or chacune de ces intégrales a une forme déterminée, qui ne peut pas être suppléée par une autre. Il est nécessaire d'en faire usage si l'on veut connaître la distribution de la chaleur dans le corps dont W s'agit. En général, on ne pourrait apporter aucun changement dans la forme de nos solutions sans leur faire perdre leur caractère essentiel^ qui est de représenter les phénomènes.

Ces diverses intégrales pourraient être déduites les unes des autres; car elles ont la même étendue. Mais ces transformations exigent de longs calculs et supposent presque toujours que la forme des résultats est connue d'avance. On peut considérer, en premier lieu, des corps dont les dimensions sont finies et passer de cette question à celle qui se rapporte à un solide non terminé. On substitue alors une intégrale définie à la somme désignée par le signe I^. C'est ainsi que les équa^ lions (a) et (P), rapportées au commencement de cette Section, dépendent Tune de l'autre. La première devient la seconde lorsqu'on suppose le rayon R infini. On peut réciproquement déduire de cette seconde équation (p) les solutions relatives aux corps de dimensions limitées.

En général, nous avons cherché à obtenir chaque résultat par la voie la plus courte. Voici les éléments principaux de la méthode que nous avons suivie :

1^ On considère à la fois la condition générale donnée par l'équation aux différences partielles et toutes les conditions singulières qui déterminent entièrement la question; et Ton se propose de former l'expression analytique qui satisfait à toutes ces conditions.

2® On reconnaît d'abord que cette expression contient un nombre indéfini de termes où il entre des constantes inconnues, ou qu'elle équivaut à une intégrale où se trouvent une ou plusieurs fonctions arbitraires. Dans le premier cas, c'est-à-dire lorsque le terme général est affecté du signe 2, on déduit des conditions spéciales une équation transcendante déterminée, dont les racines donnent les valeurs d'un nombre infini de constantes.

Le second cas a lieu lorsque le terme général devient une quantité infiniment petite; alors la somme de la série se change en une intégrale définie.

3° On peut démontrer par les théorèmes fondamentaux de l'Algèbre, ou même par la nature physique de la question, que l'équation transcendante a toutes ses racines réelles et en nombre infini.

4® Dans les questions élémentaires, le terme général est formé de sinus ou cosinus; les racines de l'équation déterminée sont des nombres entiers, ou des quantités réelles et irrationnell.es : chacune d'elles est comprise entre deux limites déterminées.

Dans les questions plus coniposées, le terme général est formé d'une fonction implicitement donnée au moyen d'une équation différentielle, intégrable ou non. Quoi qu'il en soit, l'équation déterminée subsiste; elle a toutes ses racines réelles et en nombre infini. Cette distinction des parties dont l'intégrale doit être composée est très importante, parce qu'elle fait connaître clairement la forme de la solution et les relations nécessaires entre les coefficients.

5" Il reste à déterminer les seules constantes qui dépendent de l'état initial, ce qui se fait par l'élimination des inconnues dans un nombre