CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

infini d'équations du premier degré. On multiplie l'équation qui se rapporte k l'état initial par un facteur différentiel, et Ton intègre entre des limites définies, qui sont le plus souvent celles du solide où le mouvement s'accomplit.

Il y a des questions pour lesquelles nous avons déterminé les coefficients par des intégrations successives, comme on le verra dans le Mémoire qui a pour objet la température des habitations. Dans ce cas, on considère les intégrales exponentielles qui conviennent à l'état initial du solide infini; car il est facile d'obtenir ces intégrales.

Il résulte des intégrations que tous les termes du second membre disparaissent, excepté celui dont on veut déterminer le coefficient. Dans la valeur de ce coefficient, le dénominateur ne devient jamais nul, et l'on obtient toujours une intégrale définie dont les limites sont celles du solide et dont un des facteurs est la fonction arbitraire qui convient à l'état initial. Cette forme du résultat est nécessaire, parce que le mouvement variable qui est l'objet de la question se compose de tous ceux qui auraient lieu séparément si chaque point du solide était seul échauffé et que la température initiale de tous les autres fût nulle.

Lorsqu'on examine avec soin ce procédé d'intégration qui sert h déterminer lés coefficients, on voit qu'il contient une démonstration complète, et qu'il montre très distinctement la nature des résultats; en sorte qu'il n'est nullement nécessaire de les vérifier par d'autres calculs.

La plus remarquable des questions que nous ayons exposées jusqu'ici, et la plus propre à faire connaître l'ensemble de notre analyse, est celle du mouvement variable de la chaleur dans un corps cylindrique. Dans d'autres recherches, la détermination des coefficients exigerait des procédés de calcul que nous ne connaissons point encore. Mais il faut remarquer que l'on peut toujours, sans déterminer les valeurs des coefficients, acquérir une connaissance exacte de la question et de la marche naturelle du phénomène qui en est l'objet; la considération principale est celle des mou^^ements simples.

6** Lorsque Texpression cherchée contient une intégrale définie, on détermine les fonctions inconnues placées sous le signe / , soit par les théorèmes que nous avons donnés pour exprimer les fonctions arbitraires en intégrales définies, soit par un procédé plus composé, dont on trouvera divers exemples dans la seconde Partie.

Ces théorèmes s^élendent à un nombre quelconque de variables. Ils appartiennent en quelque sorte à une méthode inverse d'intégration définie : car ils servent à déterminer sous les signes /et 2) des fonctions inconnues qui doivent être telles que le résultat de l'intégration soit une fonction donnée.

Les mêmes principes s'appliquent k diverses autres questions de Géométrie, de Physique générale ou d'Analyse, soit que les équations contiennent des différences finies ou infiniment petites, soit qu'elles comprennent les unes et les autres.

Les solutions que l'on obtient par cette méthode sont complètes et consistent dans des intégrales générales. Aucune autre intégrale ne peut avoir plus d'étendue. Les objections qui avaient été proposées à ce sujet sont dénuées de tout fondement; il serait aujourd'hui superflu de les discuter.

7*^ Nous avons dit que chacune de ces solutions donne Yéquation propre du phénomène y parce qu'elle le représente distinctement dans toute l'étendue de son cours, et qu'elle sert à déterminer facilement en nombre tous les résultats.

Les fonctions que l'on obtient par ces solutions sont donc composées d'une multitude de termes, soit finis, soit infiniment petits; mais la forme de ces expressions n'a rien d'arbitraire : elle est déterminée par le caractère physique du phénomène. C'est pourquoi, lorsque la valeur de la fonction est exprimée par une série où il entre des exponentielles relatives au temps, il est nécessaire que cela soit ainsi, parce que l'effet naturel dont on recherche les lois se décompose réellement en parties distinctes, correspondantes aux différents termes de la série. Ces parties expriment autant de mouvements simples compatibles avec les conditions spéciales; pour chacun de ces mouvements, toutes les tempéra-