CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR

tures décroissent en conservant leurs rapports primitifs. On ne doit pas voir dans cette composition un résultat de l'Analyse, dû à la seule forme linéaire des équations différentielles, mais un effet subsistant, qui devient sensible dans les expériences. Il se présente aussi dans les questions dynamiques où Ton considère les causes qui anéantissent le mouvement; mais il appartient nécessairement à toutes les questions de la théorie de la chaleur, et il détermine la nature de la méthode que nous avons suivie pour les résoudre.

La théorie mathématique de la chaleur se forme : i® de la définition exacte de tous les éléments du calcul; n^ des équations différentielles; 3° des intégrales propres aux questions fondamentales. On peut arriver aux équations par plusieurs voies; on peut aussi obtenir les mêmes intégrales, ou résoudre d'autres questions, en apportant quelque changement dans la marche du calcul. Nous pensons que ces recherches ne constituent point une méthode différente de la nôtre; mais elles confirment et multiplient les résultats.

9® On avait objecté au sujet de notre analyse que, les équations transcendantes qui déterminent les exposants ayant des racines imaginaires, il serait nécessaire d'employer les termes qui en proviennent, et qui indiqueraient dans une partie du phénomène le caractère périodique : mais cette objection n'est point fondée, parce que les équations dont il s'agit ont, en effet, toutes leurs racines réelles, et qu'aucune partie du phénomène ne peut être périodique.

lo*^ On avait allégué que, pour résoudre avec certitude les questions de ce genre, il est nécessaire de recourir dans tous les cas à une certaine forme de l'intégrale, que l'on désignait comme générale; et l'on proposait, sous cette dénomination, l'équation (y) de l'article 398; mais cette distinction n'est point fondée; et l'usage d'une seule intégrale n'aurait pour effet, dans plusieurs cas, que de compliquer le calcul sans nécessité. Il est d'ailleurs évident que cette intégrale (y) se déduit de celle que nous avons donnée en 1807 pour déterminer le mouvement de la chaleur dans une armille d'un rayon déterminé R; il suffit de donner à R une valeur infinie.

1 1** On a pensé que la méthode qui consiste à exprimer l'intégrale par une suite de termes exponentiels, et à déterminer les coefficients au moyen de l'état initial, ne résout point la question relative à un prisme qui perd inégalement sa chaleur par ses deux extrémités; ou que, du moins, il serait très difficile de vérifier ainsi la solution que l'on déduit de l'intégrale (y) par de longs calculs. On reconnaîtra par un nouvel examen que notre méthode s'applique directement à cette question, et qu'il suffit même d'une seule intégration.

1*1^ Nous avons développé en séries de sinus d'arcs multiples des fonctions qui paraissent ne contenir que des puissances paires de la variable, par exemple cos^r. Nous avons exprimé par des suites convergentes, ou en intégrales définies, des parties séparées de diverses fonctions ou des fonctions discontinues entre certaines limites, par exemple celle qui mesure l'ordonnée dans un triangle. Nos démonstrations ne laissent aucun doute sur l'exacte vérité de ces équations.

i3** On trouve dans les Ouvrages de tous les géomètres des résultats et des procédés de calcul analogues à ceux que nous avons employés. Ce sont des cas particuliers d'une méthode générale, qui n'était point encore formée et qu'il devenait nécessaire d'établir, pour connaître, même dans les questions les plus simples, les lois mathématiques de la distribution de la chaleur. Cette théorie exigeait une analyse qui lui est propre, et dont un élément principal est l'expression analytique des /onctions séparées , ou des parties de fonctions.

Nous entendons ^^v fonction séparée^ ou partie de fonction, une fonction /(^r) qui a des valeurs subsistantes lorsque la variable a: est comprise entre des limites données, et dont la valeur est toujours nulle si la variable n'est pas comprise entre ces limites. Cette fonction mesure l'ordonnée d'une ligne qui comprend un arc fini d'une forme arbitraire et se confond avec l'axe des abscisses dans tout le reste de son cours.

Cette notion n'est point opposée aux principes généraux du Calcul; on pourrait même en trouver les premiers fondements dans les écrits de Daniel Bernoulli, de Clairaut, de Lagrange et d'Euler. Toutefois on