CHAPITRE IX. ~ DIFFUSION DE LA CHALEUR

avait regardé comme manifestement impossible d'exprimer en séries de sinus d'arcs multiples, ou du moins en séries trigonométriques convergentes, une fonction qui n'a de valeurs subsistantes que si celles de la variable sont comprises entre certaines limites, et dont toutes les autres valeurs seraient nulles. Mais ce point d'analyse est pleinement éclairci; et il demeure incontestable que les fonctions séparées, ou parties de fonctions, sont exactement exprimées par des séries trigonométriques convergentes, ou par des intégrales définies. Nous avons insisté sur cette conséquence dès l'origine de nos recherches jusqu'à ce jour, parce qu'il ne s'agit point ici d'une question abstraite et isolée, mais d'une considération principale, intimement liée aux applications les plus utiles et les plus étendues. Rien ne nous a paru plus propre que les constructions géométriques à démontrer la vérité de ces nouveaux résultats, et à rendre sensibles les formes que l'Analyse emploie pour les exprimer.

i4® Les principes qui nous ont servi à établir la théorie analytique de la chaleur s'appliquent immédiatement à la recherche du mouvement des ondes dans les liquides dont une partie a été agitée. Ils donnent aussi celles des vibrations des lames élastiques, des surfaces ilexibles tendues, des surfaces planes élastiques de très grandes dimen^ sions, et conviennent en général aux questions qui dépendent de la théorie de l'élasticité. Le propre des solutions que l'on déduit de ces principes est de rendre les applications numériques faciles, et de présenter des résultats distincts et sensibles, qui déterminent réellement l'objet de la question, sans faire dépendre cette connaissance d'intégrations ou d'éliminations qu'on ne peut effectuer. Nous regardons comme superflue toute transformation des résultats du calcul qui no satisfait point à cette condition principale.

1° Nous présenterons maintenant diverses remarques concernant les équations différentielles du mouvement de la chaleur.

Si deux molécules d'un même corps sont extrêmement voisines et ont des températures inégales^ celle qui est la plus échauffée communique directement à Vautre pendant un instant une certaine quantité de chaleur; cette quantité est proportionnelle à la différence extrêmement petite des températures : c'est-à-dire que, si cette différence devenait double, triple, quadruple et que toutes les autres conditions demeurassent les mêmes, la chaleur communiquée serait double, triple, quadruple.

Cette proposition exprime un fait général et constant, qui suffît pour servir de fondement à la théorie mathématique. Le mode de transmission est donc connu avec certitude, indépendamment de toute hypothèse sur la nature de la cause, et il ne peut être envisagé sous deux points de vue différents. Il est évident que la communication immédiate s'opère suivant toutes les directions, et qu'elle n'a lieu, dans les . fluides ou les liquides non diaphanes, qu'entre des molécules extrêmement voisines.

Les équations générales du mouvement de la chaleur, dans l'intérieur des solides de dimensions quelconques, et à la surface de ces corps, sont des conséquences nécessaires de la proposition précédente. Elles s'en déduisent rigoureusement, comme nous l'avons prouvé dans nos premiers Mémoires en 1807, et l'on obtient facilement ces équations au moyen de lemmes dont la démonstration n'est pas moins exacte que celle des propositions élémentaires de la Mécanique.

On déduit encore ces équations de la même proposition en déterminant par des intégrations la quantité totale de fchaleur qu'une molécule reçoit de celles qui l'environnent. Ce calcul n'est sujet à aucune difficulté. Les lemmes dont il s'agit suppléent aux intégrations, parce qu'ils donnent immédiatement l'expression du flux, c'est-à-dire la quantité de chaleur qui traverse une section quelconque. L'un et l'autre calcul doivent évidemment conduire au même résultat; et, comme il n'y a aucune différence dans le principe, il ne peut point y en avoir dans les conséquences.

2P Nous avons donné en 181 1 l'équation générale qui se rapporte à la surface. Elle n'a pas été déduite de cas particuliers, comme on l'a